TU

r-Q ( ^^ 1 = N (2 /^o sina? ^ 2 y/^U sin3^-h 2 t/i^o ^ sin5a7 — • • •)?

= iN (iH- 2^0 ces 2^ -\~ iq\ cos4^ + ^Ç'o ^^^ 6^ -H. . .),

Oi ( ) = M . ( I -f- 2 g'o cos 2X ^ql)

' ii¥J X

'Ol ( ) = N (l — '--^^O 005 237+ 2^J C0S4^ — 2^o C0s6a^' -H. . .).

Le principal intérêt de la seconde forme analytique qui nous

est ainsi donnée par les quantités 6(^), vi(^), etc., consiste en

'l¥s.x ce que l'on introduit, au lieu de ? l'argument imaginaire

En supposant K et K^ réels, on a donc sous forme réelle

et l'on peut suivre la marche des fonctions, que l'argument soit lui-même réel ou multiplié par y/ — i ; bientôt on en verra une application.

Propriétés fondamentales des fonctions 6 et H ; définition

de sinama;', cosam^, A am^.

En employant dans ce cjui précède la considération de la fonction

m 2 / TT X 2 m

pour le cas de A" = 2, nous avons supposé

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l6o OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

Désormais nous garderons pour périodes ces deux quantités, et nous ferons par suite

°° m- iTl X

avec la condition

ce qui donnera, comme nous l'avons établi, la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières uniformes aux deux conditions

< k iTi , .„,,

ï . , TT {X -4- l K'

Cette solution générale renfermera donc pour A" = 4? par exemple, quatre constantes arbitraires, que l'on mettra en évidence en distinguant ces quatre formes de l'indice /72, m^=^ l\n^ 4^ + 15 4^ + 2, 4/^ + 3, ce qui donnera

a^yq ' e

(4rt^-3) ■

OU bien, pour abréger,

Par là on voit que, dans le cas où

la solution est représentée par

et ne contient plus que deux constantes. De même, en supposant

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l6l

on aura avec deux constantes arbitraires seuiement

Ainsi nous avons la manière la plus générale de vérifier ces deux systèmes de conditions, savoir :

( ^{x ^ 2iK') = ^{x) e ^^

^(,x -h lili') = ^(00) e ^

"• ^ -^UM-n.)

Cela établi, nous remarquons qu'en élevant au carré les deux membres des diverses équations fondamentales de la page i52, les résultats sont précisément de la forme du premier de ces deux systèmes. Nous en tirons cette conséquence, qu'en désignant par a, è, etc., des constantes, on aura

H2 {x)= c ^o(x) 4- d^2{^), et en changeant .r en ^ -j- K,

El{x) = c^o(^) — d^2{x).

En second lieu, si l'on multiplie membre à membre, soit les deux premières, soit les deux dernières de ces mêmes équations, c'est à la forme du second système quison se trouve amené, par suite

on a

A et B désignant de nouvelles constantes, et cette relation donne, en y changeant ^ en ^ + K.^ la suivante :

0i(^)Hi(^) = jA*i(^) — jB<i>3(^).

De là se tirent, parmi bien d'autres conséquences (^), les relations algébriques et différentielles de nos fonctions.

(1) Notamment la transformation du second ordre. H. — II.

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1 6'2 01^: U V RE s DE CHARLES H E R MI T E .

I. — Relations algébriques. — Du module et de son complément.

Deux équations linéaires entre les carrés 0-, H-, %'\.^ HJ résultent évidemment des expressions de ces quantités par <ï>o {x) et <ï>.2 (x). L'une d'elles pourra être présentée sons la forme

a et a! désignant des constantes que nous allons déterminer.

Pour cela faisons ces deux hypothèses x == o et x = K; comme on a, d'après les formules de la page i43, H(o) = o, Hi (K) = o,

il viendra