yq
ï -H '1 ^- 'iq
.q-\-'iq'- -^ iq'* —
-^•iq^ 2^9-H
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l63
à la notion des quantités que nous ayons désignées par k et k' ^ et dont les racines carrées s'expriment en série de cette manière :
La première, k^ s'appelle le module de S{x), }i(x)j Si (x)^ H, (^), et la seconde, //, le complément du module. Considérées par rapport k q^ ou plutôt en faisant
par rapport à la variable co, ces c|uantités constituent un genre de fonctions analytic[ues entièrement nouvelles et de la plus haute importance parmi les fonctions d'une seule variable. C'est principalement en Algèbre, dans la théorie des équations, et en Arithmétique, dans la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées, que la considération de ces fonctions a suggéré d'elle-même des points de vue tout nouveaux et ouvert des voies fécondes, où ont été obtenus les plus intéressants résultats. Les bornes de cette Note ne nous permettent pas d'entrer dans ce champ déjà si étendu de belles recherches, mais ce que nous dirons à l'égard des fonctions 0, H, etc. servira de préparation suffisante pour lire les Mémoires spéciaux qui y sont consacrés. C'est de ces fonctions, en eflet, étudiées à la fois par rapport à x et (JL), que découle tout ce qui concerne k et k^ qui contiennent seulement co, et il ne semble pas possible, dans l'état actuel de nos connaissances en Analyse, d'arriver à toutes leurs propriétés en partant uniquement de leur définition comme quotient des séries données précédemment (').
(^) Poisson et M. Caucliy sont arrivés, par deux méthodes différentes, à cette identité :
\/' — ib) (i ■-+- 2 e''"' -H 2 e''^^^ + 2 e9i'~"-i-. . .)
qui conduit à des propriétés fondamenLales des modules considérés comme fonction de oi. Mais il n'est possible de tirer de là que la transformation pour le premier ordre, et aucune autre voie pour parvenir aux équations modulaires ne s'est encore oft'erte que celle qui a été donnée par les fondateurs de la théorie ,des fonctions elliptiques.
Hosted by
I 64 OE U V R E s DE CHARLES H E R M I T E .
On se rendra compte, jusqu'à un certain point, de cette difficulté, en observant que k et k n'existent comme fonctions de (o qu'autant qu'en supposant cette variable imaginaire et de la forme
P est essentiellement différent de zéro et positif. Ce sont donc véritablement des parties de fonctions qui, dès lors, échappent à beaucoup des méthodes les plus habituellement employées. Ainsi, il n'existe pas pour k et k^ de développement suivant les puissances de Cl), et si l'on fait
(jO = (Oq -(- /l
pour pouvoir employer la série de Taylor, voici encore les circonstances particulières qui viennent s'offrir. Les quantités k et k sont déterminables par la résolution d'une équation numérique, pour une infinité de valeurs de co, telles que
co- G '
A, B, G étant entiers, et B essentiellement positif; mais, si l'emploi de ces valeurs initiales, en faisant, w = Wq + A, donne pour premier terme des séries une simple irrationnelle numérique, les termes suivants sont nécessairement des transcendantes. Ainsi, par exemple, pour cOq = ^', on aura
sj 1 y/ '2
et, en prenant w = ^* + A, ce sera l'intégrale
dx
qui entrera dans tous les coefficients des développements de k et k' j suivant les puissances croissantes de h. On voit par là combien on est éloigné des séries qui définissent les transcendantes simples, où les coefficients sont toujours commensurables. Mais, sans nous étendre plus longuement là-dessus, et pour revenir à ce
Hosted by
qui concerne notre sujet, nous allons justifier les dénominations de module et de son complément, données k k et k' ^ en démontrant cette égalité
Les deux relations que nous avons obtenues sont
( &%x) = kWHx)-^k' Q\{x).
Faisons dans la seconde x = K, après avoir divisé les deux membres par B^(^), en remarquant qu'on a
et, par suite.
ei(^-f-K) = e(^), 0,(K)=:e(o),
on trouvera précisément l'égalité qu'il fallait démontrer. Il en résulte cette relation entre les séries infinies
iq'^ -4- 2^1*^ -h. . .)^,
-\- {\ — iq -^ 'iq'^'
qu'il est extrêmement facile d'établir directement à l'aide des propositions arithmétiques connues sur la décomposition des nombres entiers en quatre carrés. Mais, laissant encore de côté ces questions, nous allons compléter ce qui concerne la définition même de k et k dont nous avons obtenu les racines carrées comme fonctions uniformes et l)ien déterminées de co. Jacobi a fait voir que les racines quatrièmes possèdent la même propriété en donnant les formules remarquables que nous réunissons ici :
