Vk
La quantité \^kk' qui joue aussi un rôle important est donnée par le développement de foi^me semblable aux précédents :
II. — Définition de sinam^, ces am^, A am:??. E quations différentielles.
Posons
Les relations algébriques obtenues précédemment, et qui sont homogènes par rapport aux quatre fonctions, donneront
La première conduit à représenter a par un sinus, (^ par un cosinus; c'est ce qu'a fait Jacobi, et, en adoptant les notations de Fillustre géomètre, nous poserons
ic = sin am^, ç = cos am-Q?, w = A am^.
Le sinus, le cosinus et le A de l'amplitude de la variable x seront
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l68 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
ainsi les trois fonctions doublement périodiques fondamentales. Nous voici amenés maintenant au point en quelque sorte le plus essentiel de la théorie, où l'on a pour but de les définir par trois équations différentielles.
Considérons à cet effet la dérivée de w, à savoir :
du J Yi'{x)%{x) — Yi{x)^' jx) __ ^{x)
Cette dérivée, comme la fonction elle-même, admet la période 2 i¥^' et ne fait que changer de signe lorsqu'on change x en œ-[- 2K.] ayant donc pour le numérateur la valeur
^ dx on tirera immédiatement des relations
auxquelles donne lieu le dénominateur, celles-ci :
Or, d'après ce qui a été précédemment établi (p. 160 et 161), on a
^{x) — ax ^\{x) ^ a^^-^{x) = m S(x) E{x) -h mi @i(x) Hi(^),
m et irii désignant des constantes. Observant donc que u change de signe avec ^, et que, par suite, — est une fonction paire, on voit que la partie impaire 7?2@(^)H(^) doit disparaître; ainsi 772 = o, et l'on a simplement
En divisant par 02(^) et faisant
mi \J k
il viendra
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Cette constante [jl représente, puisque la fonction a s'évanouit
1 T • 1 siri a m a? t -^ • j '
avec x^ la limite du rapport pour x =^ o^ limite qui dépend en général des quantités K et K^ Mais nous avons précédemment remarqué que l'expression des fonctions ©(^)H(^) ne
changeait pas en y remplaçant x^ K, K.' par —, --> —, et que cette
circonstance serait utilisée pour particulariser d'une certaine manière les périodes. D'après cela, nous allons introduire une rela-
tion qui aura pour eiiet de rendre égale a 1 unité la limite ?
afin de rapprocher en ce point essentiel le sinus d'amplitude du sinus trigonométrique. Ayant
4 /- I . TT ^ / ' 7ZX ,\ / , TU .r
sinam(^) i -^ x iK\ ^ K / ^, Iv
^ '^ ( I — iq ces wr ^ 9 ) ( ^ " '-*- 9 ^^^ ~f7~ "^ T
nous ferons, pour ^ = o,
TT \/q{i-q-^y^{i — q'^)Hi-q^)K..
ou bien
Ainsi, en admettant que les quantités K et ¥sJ vérifient cette condition, nous aurons
du
ax
c'est la première des relations différentielles que nous voulions établir. Les autres en découlent à l'aide des équations
et sont
dç dx
dw dx
k- uv
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lyo OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.
Plus généralement, on aura
— =^ {cto -^ a^ U" -H «9 11^ H- ... -4- ail u^'^ ) vw^
= ( Ao -4- Al ?^2 | ^2 ?;/:^ -4- ... -h A;^ 11^-'^ ) u^
les coefficients étant des fonctions entières de A-. On en déduit ce développement qui subsiste entre les limites — i et + i de la variable, et où l'on a fait
u ^=^ X — ik a -^ + 4 k^ ( a^ -4- 3 )
— 8/f3(a^ + 33a) — ^ h iG/:^^^^ -i- 3o6a^ -h 189) ^'
— 32/»:° (cc^ -^ 2766 a=^ -f- 8289a)
On trouve de même
-FÂ:2(64-i-9r2/c2-|-4o8Â:*-f- /c^) — — ....
M. Gudermann ( ' ) a fait la remarque qu'on pouvait poser, aux termes près du cinquième ordre,
sin (^ i/i H- /r^)
et
(; — cosa7, w = coskx,
en négligeant seulement X'*, ce qu'on vérifiera sans peine par le développement.
Voici donc une nouvelle et complète définition des trois fonctions doublement périodiques, en joignant aux équations diffé-
(^) Journal de Crelle, t. 19.
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rentielles les valeurs initiales 11 = 0^ p = i , (p = 1 pour x rz= o. En particulier, la fonction sinam(.z?) sera déterminée en posant
/"" du
et c'est cette intégrale, ou, plus généralement,
¥ {u) du
J /( i ^ zi^ ) ( I — k'^ u:^- )
en désignant par F(i^) une fonction rationnelle, dont l'étude a ouvert la voie pour parvenir aux fonctions elliptiques. On reconnaît ainsi l'origine de cette expression de fonctions inverses, dont nous avons plusieurs fois fait usage, puisque a est la fonction inverse de l'intégrale dont la valeur est .r, et l'on peut juger quel long enchaînement d'idées et quels efforts il a fallu pour parvenir de là aiix notions de fonctions doublement périodiques et aux séries qui nous ont servi de point de départ. Mais ce long travail a été fécond pour la Science; c'est comme conséquences de ces recherches que nous ont été acquises plusieurs notions analytiques entièrement fondamentales, et en particLilier ce que nous savons sur le mode même d'existence des fonctions intégrales. Après avoir trouvé, par exemple, que sinam(jç) ne change pas lorsqu'on change x en ^ -I- 4^^K. 4- ^ni' lYJ ^ m el m' étant des nombres entiers, on a dû nécessairement rechercher dans l'intégrale
r du
\/{l— ^^2)(l kUt'-)
la raison de cette sorte d'indétermination qui donne naissance à la périodicité dans la fonction inverse. M. Cauchy, dans son Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, avait donné les principes essentiels de cette étude si importante; elle a été complètement faite par M. Puiseux, dans un excellent travail intitulé : Recherches sur les fonctions algébriques [Journal de M. Liou^ille^ année i8:")o), et auquel nous renvoyons le lecteur. Un autre résultat encore consiste dans ce sens plus complet et plus approfondi, que l'on a été conduite attacher en Analyse à l'expression même de fonction, en reconnaissant et en caractérisant, entre les divers modes de dépendance de deux quantités, des dis-
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tinctions essentielles et dont les recherclies auxquelles a donné lieu la théorie des fonctions elliptiques ont montré toute l'importance. Ainsi ont été proposées ces questions dont l'objet est de reconnaître dans la définition même d'une fonction, donnée, par exemple, par une équation différentielle, si elle est uniforme ou non, et dans le premier cas si elle est entière ou fractionnaire. Les résultats les plus beaux par leur grande généralité qui ont été obtenus dans cette voie sont dus à M. Weierstrass (•) et à M. Riemann (2).
lïl. — Des quantités K et K'.
En particularisant les périodes de manière à rendre égaie à
15 • r r 1- • 1 sinam^ • /- •
lunite la limite du rapport pour x iniiniment petit, nous
sommes parvenus à l'expression
qui conduit à une conséquence importante. Observons d'abord Cju'en supposant ^ = K et, par conséquent, sinamK = i (3) dans l'expression en produit infini de sinam^, on aura
En divisant membre à membre ces deux équations et extrayant
(^) Théorie der AheVschen Functionen [Journal de Crelle, i856). Voyez aussi diverses Notes de M. Cauchy, publiées à cette époque dans les Comptes rendus, Qt un Mémoire de MM. BrioL et Bouquet : Sur V intégration des équations différentielles du premier ordre.
(-) Allgemeine Voraussetzungen und HiUfsmittel fur die Untersuchung von Functionen unheschrànkt verànderlicher Grossen, etc. [Journal de Crelle,
I H (^ ) (^) On trouve que sinamK = 1 par la formule sinama7= -^ — - — --, en se
rappelant que par définition \Jk— ? page 162.
la racine carrée, il en résulte
expression susceptible d'une simplification remarquable. Employons à cet effet la relation donnée par Euler
on obtiendra d'abord
et en remarquant ensuite que
on verra tous les dénominateurs disparaître dans la valeur de i/'^^—y qui deviendra ainsi
Cela étant, si l'on pose x=: o dans la formule précédemment démontrée
01 ( ] = I -f- 2^ C0S2^ -h 2q^ ces 4^ 4-2^9 C0s6^ H- . . .
= (1 -f- 2^ CCS 2.2? -i- ^7^ j (j | 2^3 cOS2:r H- ^^ )
il viendra
d'où ce résultat, qui est d'une grande importance dans la théorie
des fonctions elliptiques,
— = 0i ( 0 ) = ] -]- iq -h iq^ -+- 'ig'-^
On en déduit, en ayant égard aux équations
0i(o)^ les deux suivantes :
^^-^ = Hi(o) = 2\/q -h 2\/q^ -f- a v/^25 j ^ ^^ { . . .^ ::^ = 6 (o) =1 — iq -^ iq^ — iq"^ -\- . . ..
C'est la seule quantité K qui donne lieu à des relations de cette
forme ; la quantité lU, entrant d'une manière différente dans l'ex-
1^ pression q^=. e ^\ ne paraît pas susceptible de développements
analogues en série. Mais toutes deux s'expriment d'une manière parfaitement semblable à l'aide des modales k et k' par ces intégrales définies
du
r du
\ s/il- U'^){l-kHÛ) J^ /(t,,2)(i/:'-2,,2)
comme nous allons le démontrer.
Précédemment nous avons déjà fait voir que sinamK=i; remarquons maintenant qu'en faisant ^ = K dans les relations
et en divisant membre à membre, il viendra
, W{li.-^-ili.') 0(K) ^ 0(K + a^') " H(K) ~ ///
par conséquent, sm am ^ =: -- 7-- — r aura la valeur y pour
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^ = K + ilL' . Ayant donc
du
V/(i — if^) il — k' it'^) nous en concKirons que
f^ du J, s/{\-u^){^-kHt^)
et, par suite, en retranchant mem])re à membre,
J, ^(i- u^){i~t^u'-) Or, en faisant
cette dernière intégrale deviendra
r' dv
/(l— P2) (1 — k'iç'l)
ce qui donne le résultat annoncé.
Mais ce que nous venons de dire laisse subsister une lacune importante : nous sommes en effet à l'un de ces points de la théorie des ^fonctions elliptiques qui appellent de nouvelles recherches pour être aussi complètement traités qu'on peut le désirer. En passant de l'équation différentielle
à la relation
/^" du
v/(i — w^)(i — /cn^^)
on laisse absolument arbitraire la loi de succession des valeurs de la variable u dans l'intégrale, de sorte qiie les relations précé-
176 OEUVRES DE CliARLES HERMITE.
dentés
du
du
n'auront un sens entièrement déterminé qu'en définissant le chemin (^) décrit par la quantité ?^ = sinam^, lorsque x varie de zéro à R, puis de K à K + ^'K^, et, comme l'argument x peut varier entre ces limites suivant une infinité de lois, il faut de plus connaître comment les chemins correspondants qui en résultent donnent tous au point de vue de l'intégration par rapport à u le même résultat. C'est seulement dans le cas où l'on suppose K, K^, et par suite k^ des quantités réelles, et qu'on se donne ces lois particulières
liYJ
^ et T croissant de o à - d'une manière continue, que l'on peut traiter la question que nous avons posée.
Et d'abord on voit que u = sinam ( j est réel par le déve-
loppement
''2K A i\/ q sin t — 2 sj q'^ sin 3^ -t- 2 \/ q'^'^ sin 5t — . . . TT / I 2 q COS'At -^ '2 q^ cos/\ t — 2^9 cos6 ^ -h. . .
D'ailleurs entre les limites zéro et K la dérivée
du k__ Hi(^) 0i(^)
dont la valeur initiale est l'unité, sera toujours positive. Elle ne peut efiectivement s'annuler qu'en faisant
Hi(^) = o, Oi {x) = o,
(1) Nous supposons que les notions fondamentales dues à M. Gauchy sur la représentation géométrique des imaginaires, et sur les intégrales prises le long d'une courbe, sont connues du lecteur.
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c'est-à-dire (voyez p. r43),
et aucune de ces racines n'est comprise clans l'intervalle considéré, la valeur ^ = K se trouvant précisément la limite supérieure de cet intervalle. Nous conclurons de là que, t croissant de o à -, a croît de même de o à i et que dans l'expression
0 V(i-i.2)(.-/cn.2)
l'intégrale est prise dans le sens habituel. Soit en second lieu
comme on a
H(K+-i^UH/"^''^'^
0 Kh =01
on pourra écrire
sinam K -^
et en introduisant les fonctions
sin am ( K
//ce, (^"J
I I — 2^0 C0S2-U -h 2q'^ cos4t — '^^0 cos6t. . . ^J^ i -f- 2^0 C0S2T -^ ncj'l cos^t: -\'iq\ cosôx. . .
ce qui est encore une quantité réelle (^). On conclura, comme
— 7T rry
(^) On se rappelle que q^^ e ■ *■ , voyez p. i58. H. — IL
tout à l'heure, que la dérivée par rapport à t, qui est nulle aux
deux limites t = o, t = - ; ne peut s'évanouir dans leur intervalle,
de sorte que c'est encore dans le sens ordinaire d'une intégration rectiligne que l'on a l'équation
fK' =
'*^ du
v/([— u^){i — k^u'^) d'où nous avons tiré
Avant de quitter ce sujet et afin d'en |rjaontrer la difficulté lorsque K, K^ et k sont imaginaires, je remarquerai que la supposition qui vient le plus naturellement à l'esprit, qu'on peut faire varier x^ par exemple, de o à K, suivant une loi telle que u soit constamment réel, ne saurait être admise. Autrement dit, il est impossible, en général, que, dans l'expression
K= /•' du
l'intégrale soit toujours rectiligne, comme nous l'avons trouvé tout à l'heure.
Effectivement, soient
îDi' == cK -hdlK',
cij 6, c, d étant des nombres entiers qui vérifient ces conditions :
ad — bc = L, a ^ I
mod^.
En posant
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on aura
/2^cc\ (—0 - ?/(/? sina7 — 2/99 sin3a7-i-2y/Ç2s sin5^ — ... sin am f ) = — ^^=^^ 3
V TC / ^/^ l —1^C0S2CC^'2.'^C0S/^CC ~ 2^ C0S6CC-+- ...
ce qui est la même expression analytique ('), au signe près en
^ et cK^, que
''2Ka?\ I 2 y^ sin^r — 2 v/^9 sin3^ -h 2 v/û'-^ sin5a7 — ... siïiam ' ' — — ^ —^ —^
'^ / s/k I — 2<7 C0S2^ -H 2^^ cos4^ — 2^9 cosS^H-. . .
en K et K^ On en conclura que ^' sera donné comme K par l'intégrale / - ♦ Or, en supposant b différent de o,
la valeur imaginaire
ne pourra évidemment résulter que d'une intégrale curviligne. Mais voici un résultat important et qui subsiste quel que soit le mode d'intégration : c'est que les quantités R et R vérifient la même équation linéaire du second ordre
dont l'intégrale avec deux constantes arbitraires G et G' est par
suite
