GK-+- G'K

Gette équation conduit au développement de K et K.' sous cette forme : soient

(^) Les relations analogues relativement à cosam(^) et Aam(^) sont

^x\ __ ^" /T 2^':^cosa^H-2^^9cos3^+'i v^.^^^CQs5a7 + ...

"^ ! V k' I — 2 ^cos2a; -{- 2^^ cos4a7 — 2 i^9 cos6^ + ...

)^x\ - /-7 1+ 2 '^ cos2^ -h 2'^ cos4^ -i- 2 ^^cosôa; -+- . . .

^ )~ I — 2 ^COS 2^ + 2 ^ C0S4^ — 2 l^COSÔa;-!- . . . '

on en déduit, en supposant x=o, ce qui concerne s/k et sjk' lorsqu'on y change K et K' en cH' et ^'.

l 2'iyix Aam

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l8o OEUVRES DE CHARLES HER MITE.

et km la somme des n premiers termes de cette suite, on aura

K'=Klog| -(.-!)- ^(k-.,)-^(k-k.)-....

On en déduit aussi cette propriété remarquable, à laquelle nous parviendrons plus loin par une autre voie :

en faisant

KJ— JK'z- -

- u'^ du ^, r^ k^-u^-dii

\/( l — U' ) ( l — /v"-^ it^- ) Ji /( i^- — l) (l — ^'^ ^^^ )

Addition des arguments. — Théorème d'Abel.

C'est Euler qui a donné le premier les formules pour exprimer sinam(a -\- b)^ cosam(a + ^), Aam(a+ è), au moyen des fonctions semblables relatives aux arguments a et b. et cette importante découverte a été le point de départ et la base des travaux qui ont fondé la théorie des fonctions elJiptiques, de même à peu près qu'en Trigonométrie élémentaire on est parvenu aux propriétés analytiques du sinus et du cosinus en partant des relations qui donnent le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, en fonction des sinus et cosinus de ces arcs. L'illustre analyste, par une sorte de divination restée célèbre dans l'histoire de la Science, obtint sous forme algébric]ue l'intégrale générale de l'équation

du du

Or ce résultat revient exactement à l'expression du sinus d'amplitude de la somme de deux arguments, comme nous allons le montrer. Effectivement, en désignant par G la constante arbitraire, l'intégrale est

^ ^ ^ u \/(i — u"-)(i — k'Hi"-) -i- u \/{i—u^){\ — kUi'-)

{9.) L = T^ — ; — jz

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Mais si l'on fait,

u = sin ama, u' = sin ama',

l'équation (i), réduite à la forme

da -^- dà = o,

donne immédiatement

Voilà donc, sous deux formes différentes, l'intégrale d'une même

équation différentielle, et l'on devra passer de l'une à l'autre en

établissant la relation qui lie les deux constantes arbitraires. Je

remarque à cet effet que c est évidemment la valeur de a pour

d = o, et, si l'on fait semblablement a' = o et, par suite, u' = o

dans l'équation (2), elle donne c ^=^u^=- sinama. La relation entre

les constantes est donc

G = sin amc.

Ainsi la valeur de C en a et a^ donne précisément la détermination de sinam (a -h a^) en fonction algébrique de sinama et sinama'. La Géométrie fournit aussi plusieurs méthodes extrêmement intéressantes pour parvenir à ce même résultat; ne pouvant ici les indiquer, nous nous bornons à donner solis sa forme analytique si remarquable le théorème découvert par Abel pour l'addition d'un nombre quelconque d'argiiments.