I. — Théorème d'Abel
Les
H(.r), double
expressions de sinamx", cosam^, Aam^ par B(^'), etc., fournissent les relations suivantes qui établissent la périodicité de ces fonctions, savoir :
\ sinam (^ H- 2K) = — sinama, ( sin am (iî? -f- 2 t'K^) — -1- sinama;
( ces am(^' -h !2K) = — cosama;, ( cos ani(^ -H 2Z.'K' ) — — cosam^-;
i A ann (^H-aK) =-i-Aam57, j A am (^-i-2iK')= — Ld^mx.
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Or Oïl remarque que les trois fonctions se reproduisent dans le second membre au signe près, de sorte que les diverses combinaisons deux à deux de ces signes, pour l'une et l'autre période, forment pour chacune d'elles un caractère spécial et qui lie entre elles, d'une certaine manière, toutes les fonctions plus générales, composées de sinam^, cosam.r, A am^, qui à l'égard des périodes satisferont aux mêmes relations. Ainsi, en désignant par F(^) et f{oc) deux polynômes entiers en sinam.2^ respectivement des degrés n et n — i , et faisant
/ X • t:./ • 9 . dsïn ama? .... ,
(^^[cc)= sin am^r F (sin^ ama?) -i- -7 jr (sin^ am 57),
, . ^ . .^ , ^cos am^ .^
cp2(a7)= cosam^ 1^ (cos^aina?) h /(cos-arna;),
'^^{cc):= ^s^m cet {^^ ama?) -+- / (A^ arn^;,
on aura, comme précédemment,
cpi(;r -i- '2K) = — ^j(^)^
cpi(a7-}- 7.iK') =-1- cpi(.r);
( cp2(a7-h 2tK') = — cp2(^);
Ce sont ces diverses expressions qui figurent dans le théorème que nous allons établir, ou plutôt encore la suivante qui possède le caractère résultant de la quatrième combinaison possible des deux signes dans le second membre, savoir :
cp(^4-2fK') =-l-cp(^).
En désignant par F(^) et F^ {x) des polynômes respectivement de degré n et n — 2, ^{oc) sera représenté de cette manière, savoir :
dz
s désignant indifféremment sin am^, cosam^r, ou A am ^. Mais^ soit pour fixer les idées, ^ = sinam.2;, et afin de mettre en évi-
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THÉORIK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l83
dence dans ç(^) le numérateur et le dénominateur, employons l'expression ^ = -— ^; ' ? qui conduira évidemment au dénominateur %'^^(x)^ de sorte qu'on pourra écrire
Cela posé, ayant
la relation
<ï>(^) = Cp(a7)02/^(a7)
donne immédiatement, en ayant égard à ce que cp(^) admet les périodes aR, 2 ÎY^ y ces deux conditions
Or on peut satisfaire à ces relations, et de la manière la plus générale, en n'employant, bien entendu, que des expressions entières, si l'on fait, en désignant par A un facteur constant,
<î>(a7) = AH(^ — r^i)Y\.{x — a2). . .H(^ — «2/0-
Effectivement, on vérifiera, à l'aide des équations
H(^ — a + aK) :=z— H(as' — a),
qu'il suffit pour cela de poser la condition
ai -f- a2 -f- . . . -H oLin = o.
Les quantités a^, a2, ..., a2/2< restent donc arbitraires, ainsi que le facteur constant A, et il est aisé d'établir que la fonction entière, la plus générale qui satisfait aux relations (i), ne contient pareillement que 2/1 constantes arbitraires.
Soit, en effet,
, l TZ-SP
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l84 OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.
OU plutôt
la seconde des relations (i) donnera la condition
ce qui ne laisse subsister dans l'expression de ^(^) que les in constantes ^o, a,, . .., a^n-\' Nous pouvons ainsi poser
., , ^ AH(.2' — a, ) H(^— a.2). . .H(.^ — «2^1)
et cette équation remarquable aura également lieu en prenant pour o(^) la fonction déduite de
en faisant z = cosam.r et ^ = A am^.
Maintenant, une analyse toute semblable donnera, à l'égard des trois fonctions CI?^ (.^), cpo(^'), ^^(yx)^ les théorèmes suivants, où Ai, A2, A3 désignent des constantes, savoir :
AiH(.z" — ai) H(a7 — as). . .H(^ — a2«+i)
Cp2(.r) =
A2Hi(^ — «1) Hi(.r — as). ♦ .Hi(3? — Q^.27i+i) A3 6(57 — a, ) 6(^ — ag). . .0(^7 — a2;i-,-i )
et l'on aura encore entre les quantités a la relation
ai -h a2 -f- . . . -ha2/i+i = o.
C'est dans la conséquence que nous allons en déduire que consiste, à proprement parler, le théorème d'Abel.
Nous partirons à cet effet des équations relatives à ^(^) et cp^ (^) où figure la fonction H(^) qui s'annule avec x et met ainsi en évidence les racines des équations (p(^)= o, ^\{oc) = o. En particulier, considérons la fonction 'f (^), où trois cas différents
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se présentent et correspondent à
z = smam.r, z — cosam^r, ^ = A am^.
Les polynômes F et F^ introduisant "in constantes, on pourra^ ayant pris égal à l'unité le coefficient de z^^^ ^ déterminer les in — i autres coefficients par les équations du premier degré
cp(ai) = o, cp(a2) = o,
Cela fait, la relation (i) nous montre qu'on aura encore f (^) = o pour .r := ao/^, c'est-à-dire d'après la condition posée entre les quantités a
Or le produit
dz
F(^2)^ __ ^Fi(s2)
donne dans les trois cas que nous avons à considérer un polynôme entier de degré /j^jx et ne renfermant que des puissances paires de ^, car on a successivement pour
Z = Aam^r
Dans le premier, ce polynôme, décomposé en facteurs, sera donc
(5'2— sin^amai) (^^^ sin^amag). . .{z'^ — sin^ aiTia-;/^ -i) X [^^— sin'^am (ai ^- «2 ^-. . .+ «2/2-1 )\
dans le second
(2^ — cos^amai) (5- — cos-aiïia2). . .(2^ — cos2ama2;i-i ) X [^- — cos^am (ai 4- «2 + - • •-(- a2«-i)]7
et enfin dans le troisième
(^2 — /\2 amai )(^- — A2ama2). . .(^^ — A'^aina2//-i )
X [5- — A^am (ai 4- a2 4-. . .+a2,i-i)].
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l86 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.
Les identités que nous venons ainsi d'établir donnent un résultat important lorsqu'on y fait z= o. Si l'on désigne en effet, suivant les trois cas, par L, M, N le terme qui ne contient pas z dans le polynôme F (s-), on obtiendra les relations
sinam («i H- a2-h. . . H- <x-2n-i) '■ cos am(ai -H a2 + . . . -h ^2n-i) '■
sinam ai sinama2. . . sinama27i i
cos am ai cos am a2 . . . cos am a2/i-i '
zhN
Aamai Aama2. . . A amaa^^— i
Des conclusions toutes pareilles seront données par la fonction
(j^i{,v) = sm amcc b (sin^am^) -^ -j /(sin^ama?),
OÙ F et / introduisent 2 n -{- i constantes arbitraires. En prenant encore égal à l'unité le coefficient de la puissance la plus élevée dans F(z') et déterminant les autres coefficients par les conditions
Ti(ai)==o, ?i(a2)=o, ..., cpi(a2,0 = o,
on aura
d sin Qmx \ 2
sin2 ama? F2(sin2 am;r) -— ( -^ j /^(sin''* am^)
= (sin^am^ — s\n'^a.mGCi){sin^amx — sin2ama2)- • .(sin^am^ — sin2ama2«) X [siii2 am^ — sin2 am (ai -+- a2 -H. . .+ ^271)]-
Ce second théorème donnerait la valeur de sin2 am ( ai H- a2 -I- . . . -+- a27^ ),
OÙ figure un nombre pair d'arguments, mais le premier a l'avantage de conduire en même temps à l'expression de
sin am ( ai -h a2 -i- . . . -I- a2/i-i ), cos am (ai -1- a2 4- . . . -f- ^2,^-1 ),
A am(ai -h a2 -(-. . .-i- a2/i i),
OÙ il importe peu que le nombre des arguments soit impair, car rien n'empêche d'en supposer un égal à zéro. Une dernière conséquence à cet égard nous reste encore à établir. Observons que les
équations
T(«i) = o, cp(a2)=o, ..., cp(a2;i i) = o,
ou, pour abréger,
cp(a^-) = o,
déterminent pour les coefficients de F et Fi des fonctions rationnelles, dans le premier cas, pour z-==. sinam^, de
smama^ et 5 = cos ama/ A ama/i
dans le second, pour z = cos am^, de
d cos am a,-
cosama/ et = — sm ama/ A ama/;
dai
dans le troisième enfin, pour ^ = A ama/, de
^ ^ d^3imoLi
Aama^- et -. = — a:^ gm am a^ cos ama/.
dai
Telle sera donc la forme des quantités que nous avons tout à l'heure désignées par L, M, N, et, par suite, des valeurs ellesmêmes de
sin am(ai H- 0(2 -h . . .-+- ^2n-i) ,
cos am(ai -4- «2 -l- . . . 4- ci2n-i), A am ( ai -f- çcg 4- . . . -h as/i-i ).
Quant au double signe, il suffira, pour le déterminer, d'un cas particulier; nous allons en donner un exemple.
