II. — Formules pour l'addition de deux arguments
Nous appliquerons les théorèmes précédents au cas de trois arguments a^, a2 et as, en supposant le dernier égal à zéro, et nous prendrons
dz
cp ( ^ ) = ( 2* -f- a^2 -^ h) -\- cz -j- '
On remarquera alors que, dans le cas de ^ = sinam.3?, l'équa-
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tion fondamentale a cette forme
{z^ 4- a.s2 t- è)2 (.ij^i \'1~} z= z-iz^- — sin2 amai) (^2 — sin2ama2)
X [z^ — sin2am(aiH-a2)],
de sorte qu'on doit déjà poser ^ =z o. Si l'on supprime dans les deux membres le facteur 5^, et qu'on fasse ensuite ,s = o, on obtiendra
sm am(ai + a., ) — -; -.
sm amai sm ama2
Gela posé, les équations o(a,) = 0, ^(ao) = o deviennent
sin^ amai -H a sin amai -h c cos amai A amai = o,
sin^ am y.^-\- a sin am ao -h c cos am oc^ A am cjl^ = o, d'où
c sin^ amai — sin'^ amao
sm amai sm ama2 sin amai cos ama2Aama2 — sm ama2 cos amai A amai
valeur qui se réduit à sin cuiia^ pour a2 = o, de sorte qu'on doit prendre dans la formule le signe supérieur. 11 vient ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction par
sin amai cos ama2 A ama2 -{- sin ama2 cos amai A amai, et supprimant haut et bas le facteur sin- amai — sin^ amao,
sin amai cos amas Aamas + sin amas cos amai A amai
sin am(ai -^ 0.2) =■
I — A^ sin^ amai sin^ amas
Dans les autres cas où z = cos am^ et 5 =: A am^, l'équation
z^ -+- az- -i- o -^ cz -7- — o
admet la racine z = i qui répond au troisième argument supposé nul. On doit donc faire
z'^ -1- az^- -^ b = (z^ — 1) (^2 | ^)^ ce qui conduit, pour z = cos am^, aux équations
cos amai A amai
cos^ amai -\- m -h c ; = o,
sm amai
cos ama9 Aamag cos2 amas -i- m -\- c
sin amas
et à la valeur
cos amfai 4- «2) = ,
cos amai ces ama2
de même pour ^ = A am^, on a les relations toutes semblables
cos a m ai Aamai A2 amai -{- Jii ' -^
A am(ai -h a2) =
Un calcul, entièrement analogue à celui qui concerne le sinus, donne les formules suivantes :
cos am^i cos ama2 — sin amai sin ama9 Aamai Aama,
cos am(ai+a2)= .^ . ,, r— ^ -,
^ ^ I — A:2 sin^ amoîi sin^ ama2
Aam a^ Aama^ — k"^ sin amai sin ama2 cos amai cos ama2
sin amai
cos
ama2 Aama2
sin ama2
zt în
Aamai A ama2
A am(at 4- cf.^) =
I — k~ sin- a m ai sin'^ ania2
Les trois formules que nous venons de déduire du théorème d'Abel sont nommées à juste titre fondamentales^ car elles suffisent pour déterminer complètement les fonctions
sinama:^, cos am ^, A am:r.
On peut voir dans les premiers Mémoires d'Abel, et postérieurement dans les Travaux de Gudermann ('), l'un des meilleurs auteurs qui aient écrit sur la théorie des fonctions elliptiques, comment elles donnent la double périodicité, puis les expressions de
sin am(AZ;27), cosam(7i^), Aam(/i^),
où n est un nombre entier quelconque, d'où l'on déduit, en remplaçant ^ par—? et passant à la limite pour n infini, les expressions analytiques sous forme de quotients des séries 0 et H. Nous j joindrons les suivantes, qui s'en déduisent immédiatement, savoir :
sinam ai cos am a9 A ama^ — sin am a-? cos amai A amai
sin am (ai — a2 ) — 1- — -^ ^— >
^ r — /c-' sin2 amai sin- ania2
. ^ cos amai cos ama9 -^ sin amai sin amao A amai A ama^
cos am ( ai — a., ) = j^ . ^ r-^ = ~ r
^ I — k^ sin2 amai sm^ ama2
Aamai A amx2-+- /c^sinamai sin ama9 cos amai cosama9
A am ( ai — a2 ) = .^ • ^ : ►
^ ^ 1 — a:^ sin^ amai sm ama2
(1) Yoir Journal de Crelle, t. 16, 17, 18, 19, 20,21, 23,25 et 41.
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Par voie d'addition et de soustraction on en conclut
sin am (a^ -h «2) -h sin am (ai — a2) =
'isin a m ai cosama2 Aama2 I — k^ sin^ amai sin- amao
/ . , , 2 cos amai CQS ama
cos am(ai-|-a2)+ cos am(ai — ag) =
I — /f2 sin^ amai sin^ am a2
A am(ai-|-a2)+ Aam(ai — «2) =
2 A amai A ama2
[ — k- sin2 am ai sin^ ama2
. X • / X 2sin ama2 cos amoci A amai
sm am(ai-|-a2)— sin am(ai — a9)= -, — r^ -,
I — k^ sm2 am ai sm^ am «2
I / \ / X 2sin am ai sin ama2 Aain ai Aama2
cos am(ai — a,)— cosam(ai 4-a2)= - z i a
Aamfas — a2)— Aam(ai^-a9) =
r — k^ sin^ amai sin^ ama2 ik^ s\n amai sin ama2 cos amai cos ama2
I — k'^ sin 2 am ai sin'^ ama2
Les trois dernières équations, en faisant
ai -h ^2 = ce, oci — a2 = a,
conduisent à déterminer toutes les valeurs de œ^ qui donnent
sin am^ = sin ama,
cos am57 = cos am a,
A am^ = A ama.
Ainsi, dans le premier cas, on reconnaît que toutes les solutions sont données par celles des équations
X — a sm am == o ou 00.
