X -{- a cos am = o

A am = o.

On en conclut immédiatement, d'après les formules données page 143 pour les racines des équations

e(^) = o, ii(x)^-o, e^{x) = o, Hi(^) = o,

qu'on a

de même, pour

X = a -{- /i mli -h im' iK\

X =— a -h (/im-i- ^2)K-i- 2 m' i K' ;

cos ama; == cos ama,

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on obtiendrait

( ,T = zh a -h /[ /n K -h i\ tn' iK\

I X — ±1 a -^{/[fn -^ i) li -h- (^ m' -+- a ) t K',

on plus simplement

X = =t a H- 2 m ( K H- ÎK' ) -h 4 ''^' ^'K', et pour

A am.r = A ama,

X ~ ± a -h 2 7?lK -^ /\ 77l' l K' .

Dans ces formules m et m' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.

Les formules pour l'addition de deux arguments donneraient lieu à beaucoup d'autres remarques; je me bornerai ici aux résultats relatifs à la duplication et aux valeurs que prennent les trois fonctions lorsqu'on suppose l'argument égal à une demi-période. Les premières découlent des formules fondamentales, qui donnent immédiatement

2 sin ama cos ama A ama sm a m '2 a =

cos amaa =

A am^a = ,^ . .

et l'on en déduit les valeurs suivantes, qu'a données Gudermann :

/ . K [ I . iK' i sin am — = , ? sm am = — — ^

{ cos am — = —z==^ j { cos am =

I — /c^sin^ama

2 sin^ am a -+- ^^ sin'^ ama

I — k^ sin^ ama

ik^ siii^ ama 4- k- sin^ ama

A am — = /^ ; A am = y/ i H- /c ;

sin am 1 — dz t K — , ; sm am K =h — ) = -— ?

'i / sl^~k \ '^ I ^k

Aam/'-±:/K'')=:=p?:VÂ'; [ A am (^K ±: ^') = y/i — /: ;

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T92 OEUVRES DK CHARLES H lUUIl T E .

cos am ( ) =:. (I zjz 0 ^ ^ '

A am

IJl. — De la rnultiplication des argiunents.

Ce point important de la théorie des fonctions elliptiques est si intimement lié à la théorie delà transformation, dont nous ne nous occuperons pas ici, que nous devons nous borner à l'indication d'un petit nombre de résultats.

En premier lieu, soit n un nombre pair, et posons

sin am ^ -+- /V sin3 ama7 + . . .+ H' sin2''^-3 am ^ SI n am {rix) = n cos am a? A a m .-r

( — i)2 cos d^m{nx) —

( — j)2Aam(/z^)= , ^ TT .

^ ^ ' i-f- A. A2 am:?7-i-. . .+ H2 A2'« am^

Soit, en second lieu, n impair et faisons

nr- — I

sin'2 am^

, .+ H sin

'^"'- diVax

cos^

am.77 4- .

Hi cos2'"

dixnx

cos-

Hi cos2/^i

am^

'/^ ^■^f'^SLmcc

sinam^^-a sm^ am^ -f-. . . + /? sin^/^'+i am^

sin am (nx) = n — — ^- ,