I -^ a sin'-^ am:r -i- . . . -i- /z sin^'" amx

cos am^ -4- a[ cos^ ama? +. ..-h /l'cos^^'^+i am^

cos amf^jc) = /2 A diTn{nx) = n

1 + «1 cos2 am^' + ... H- Al cos'^^^ am^ A am .3? -H «4 A^ am :r -j- . . . -+- hL A^^'^+i am 57

I -F «5^2 ^'^ afiTt-^ -^ • • --t- ^2 A-''^ ama7 Tous les coefficients dans ces diverses formules sont des fonc-

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lions rationnelles et entières de /r^, et Jacobi a donné pour leur détermination, dans le cas où n est impair, le théorème suivant :

Soient

u . , U TT P

sim ami&' = — z-> sm am( nx) — — — et u — tt-?

P ^^ Q étant des polynômes entiers en u\ si Von fait

ces deux polynômes satisferont à V équation linéaire aux différences partielles que voici :

dz du

, ^ d- z „ , „ ,. dz

Sur les intégrales de seconde et de troisième espèce.

On y est amené par la considération de l'intégrale

/ F(sinam:r, cosam^^, ù^divax) dx,

OÙ F désigne une fonction rationnelle quelconque, et qui va maintenant nous occaper.

Soit, comme précédemment,

u = sin aîii^, ç = ces am^, wp^ = A am^.

On reconnaîtra d'abord qu'elle peut être réduite à la forme / (AH-Bp-i-G(^-hDpw) dx,

où A, B, G, D sont des fonctions rationnelles de la quantité u. 11 en résulte que la première partie

A dx H. — II. i3

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194 OE U V R i: s DE CHARLES H E R M 1 T E .

demande seule an examen attentif, car, à l'égard des deux suivantes, l'intégration s'effectuera par les règles relatives aux radicaux carrés du second degré, en prenant u pour variable indépendante, et la dernière se trouvera même ainsi ramenée aux fonctions rationnelles. C'est donc seulement dans l'expression

/ k.dx que l'on peut s'attendre à voir résulter de l'intégration des

fonctions nouvelles, et que les considérations suivantes vont mettre effectivement en évidence.

Soit

^ et i désignant des polynômes entiers; en multipliant par^( — u) les deux termes de la fraction et faisant

on décomposera l'intégrale proposée dans les deux suivantes :

dont la seconde se ramène encore aux radicaux du second degré, puisqu'en faisant u^ = t elle devient

I r*i(0 dt

^^(O ^{i~t){i— kU)

Il y a donc seulement lieu de s'occuper de la première, qu'on fera

dépendre

tels que

dépendre, en décomposant en fractions simples X-, — -; de termes

(r -h (lu'^)P ou bien

u?-'^ du r du

r a'^'' du r

y/( I — u^){\ — k- u"~ ) J {\ — oLu'- )P \/(i - u'-) {\ — k'^u'^)

et ces termes sont eux-mêmes réductibles, comme on va voir, aux cas les plus simples de /z = i , /? = i .

Partons en premier lieu de la relation

du ni .

qui clifférentiée donnera

clx'^

— m{m — i) w'«-2 — rri'-{\ -+- k"^) W^ -\- m{m -h [) k'^W^^'^.

En intégrant par rapport à x les deux membres de cette équation, on trouvera cette formule de réduction

du^^^ c r r

:m{m—\) / u"^-^- dx ~ m^ {\ -^ k^-) j W'^ dx^m(m-^i)k^ l u^'^^^dx,

qui montre comment de proche en proche on ramènera l'intégrale proposée oiim = 2 ^, aux seuls cas de /i == o, /i = i .

Le premier donne un terme proportionnel à la variable, et c'est le second qui conduit à un nouvel élément analytique, dans la théorie des fonctions elliptiques.

En introduisant comme facteur constant le carré du modale, nous poserons

Z(^) — / k- sin^ diUixdx^

ce sera ce que l'on nomme et ce que nous appellerons dorénavant la fonction de seconde espèce.

Partons en second lieu de la relation

, / 1 -f- A"2 ?,k^\ r dx

. . /c2 r dx

qu'on trouvera identique par la différentiation. Il est clair que, de proche en proche, elle fait dépendre le cas le plus général des trois suivants où l'on suppose p = — i^ p = o^ p ^= i . Le premier nous ramène à la fonction de seconde espèce, le second donne un terme

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proportionnel à la variable : c'est donc seulement le dernier qui met encore en évidence une fonction nouvelle, que nous étudierons soQS la forme

r k ^2 dx

j i aw2 au lieu de

r dx

J i—a.u'^' En faisant

OL z= k^ sin2 ama,

A = y- k^ sin ama cos ama A ama,

2 da

nous poserons

^" k'^-' sin ama cos ama A am a sin^ ama7.<i^

I — Â:^ sin^ ama sin^ ama;

et cette expression sera désormais pour nous la fonction de troisième espèce.

I. — Expression par 0(^) des intégrales de seconde et de troisième espèce.

Nous avons précédemment établi la relation suivante :

, . „ ., ^<isinama7 ^H(^ — ai)H(^ — çi,^)\\{x — «3)

sin am^(sin2 ama^-h A) -h B -, = C -— — r ^ ?

dx ©3(^)

OÙ les coefficients A et B s'expriment par a4 et a2 en posant

... A X T^ <isin amai

sin amaïf sin^ amai -+- A) -f- B -^ =0,

^ aa 1

. , T^ r/sin ama2 sin ama2(sin2 amaa -i- A) -f- B = o.

Soit

ai = — 0L2=^ a^

et, par suite,

d'après la condition

ai -t- ao -f- «3 = o,

on trouvera

B = o, A= — sin^ama,

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et, par conséquent,

sm am^( sin2 ^mx — sin^ ama) = G — ^ — -, — ^ — ^ — - •

Déterminant G en faisant ^ = o, il viendra enfin

sm^ ama? — sin^ ama =

k&-^(cr)Q^(a)

Cette relation importante prend, si l'on change a en a -{- îK.' ^

cette nouvelle forme

à laquelle on parviendrait encore d'une autre manière en employant

l'identité

i Uix -\- ajHi X — a)

-r r—, — = sms.m{x -h a) sm dim(x — a)

sin2 ama? — sin^ ama

~ 1 — k^ sin2 am a sin^ ama?

Elle donne, en prenant les logarithmes de deux membres,

log(i — k^ sin2 ama sin^ ama?) = log0"^(o) -}-log0(a?-i-a)

-1- log-0(a? — a) — '2log0(a?) — 2log0(a),

et de là on tire immédiatement, en différentiant par rapport à a et en intégrant ensuite par rapport à x^

k- sin ama ces ama A ama sin'^ ama?<ia? I — Â-2 sin2 ama sin^ ama?

=: U{x, a) = X ——{ -h - log ^-) [;

c'est l'expression analytique découverte par Jacobi de la fonction de troisième espèce. En divisant para et supposant ensuite a==o, on en déduit

Jr^ s'(x) ' k^ sin^ dLïïixdx = Z(x) = tx — -, 0 ®(^)

où l'on a posé

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c'est l'expression donnée également par Jacobi de la fonction de seconde espèce et qui va nous conduire aisément à ses propriétés fondamentales.