II. — De la fonction Z{x

La première de ces propriétés est de n'avoir qu'une seule et unique détermination pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable. C'est aussi ce qui résulte directement de la considération de l'intégrale

/k"^ sin- am z dz.

En effet, pour l'une quelconque des racines de l'équation

le résidu correspondant de A^^ sin^ am s, c'est-à-dire le coefficient de - dans

^•2 sin2 am [imK-v- {im' -^ i) ili! -\- t]

sin^ am£

s'évanouit, car sin^ ame ne contient que des puissances paires de e dans son développement. L'intégration, quel que soit le chemin décrit par la variable ^, ne donnera donc qu'une seule et unique détermination. Nous pouvons ainsi poser sans aucune ambiguïté^ en adoptant les dénominations de M. Weierstrass,

J — / k- sin^ am x dx^ iV ^ f

k^ sin^ am xdx.

Ces quantités se nomment les fonctions complètes de seconde espèce et sont liées à K et K^ fonctions complètes de première es-

Hosted by

pèce par la relation que nous avons déjà mentionnée

KJ'— K'J = -

et que nous allons maintenant démontrer. A cet effet, faisons successivement

dans l'écjuation fondamentale

La première substitution donnera tout d'abord

car on a

Pour la seconde, nous partirons de la relation donnée page i43 :

et d'où l'on tire

10gei(^ -H fK') = lOgHif;^?)— y-r: i'ix -^ i¥J),

4K En différentiant par rapport à x, on en déduit

e'iC.r-4- iW) __ W'^{x) iiz

Maintenant, si l'on fait jî7 = o, la dérivée de la fonction paire Hi [x) s'évanouissant, il viendra

%\{i'K!) e^K-+- JK!) _____ ^

ei(iK') ~ e(K-f- iK') ~ 2K' On en conclut

tir

et, par conséquent,

ce qui donne la relation annoncée en remplaçant (^ par -r^-

Hosted by

Ces quantités J et J^, lorsqu'on suppose le module k réel et moindre que l'unité, s'expriment parles intégrales rectilignes

— Ç k'^x'^ dx Çk /c2;^;2 dx

et l'on a, comme pour K et K', ces deux séries :

J' = J1o-|+i-(3-J0-3^(J-JO-5^(J-Jb)-...,

en faisant

i in — ^ I / i . 3 . . . 2 /z — 3 \ 2

Voici maintenant la propriété de la fonction de seconde espèce qu'on doit regarder comme caractéristique et qui justifie son introduction à titre de nouvel élément analytique .dans la théorie des fonctions elliptiques; elle consiste dans les relations

Z(^-h2iK') = Z{x)-{-'ii]',

Ces relations, qui découlent immédiatement des équations fondamentales

en en prenant les dérivées logarithmiques, donnent en effet la notion d'un nouveau genre de fonctions qui, étant uniformes, se reproduisent avec l'addition d'une constante lorsqu'on augmente l'argument des quantités 2K et ii¥J , Plus tard, on verra le rôle et l'importance de ce caractère qui n'est plus la double périodicité, mais qui s'y rattache d'une manière étroite.

Hosted by

On j parviendrait d'ailleurs encore autrement, en partant de l'équation

Z{x -\- a) = Z{cc) -h Z{a) -h k- s\u amcc sin 3ima sin a.m{cc -^ a)^

c'est-à-dire du théorème de l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce, que Jacobi démontre comme il suit : Différentions, par rapport à ^, l'équation

il viendra

= — Z(<^)h- --Zix -^ a) Z{x — a),

d'où, en permutant x et a,

/c*2 sin ama7 ces ama:' A ain^ sin^ama r, / s i r, / x 1 ^ . x.

I — a:"- sin^ aina sm'^ am^ 2 1

or ces relations, ajoutées membre à membre, donnent

/:2sin ama? sin ama sinam(.T -\- a) =^Z{x -^ a) — Z{x) — Z{a).