III. — De la fonction n(^, a
On considère comme l'une des plus belles découverte^ de Jacobi cette expression de n(^, a) où figurent deux quantités, l'argument X et le paramètre a, par la relation
n(^. a) = X — - — ^ 4- - log -7 [,
dans laquelle n'entre que la seule fonction 0 avec sa dérivée. Il pourrait même paraître inutile, à cause de la simplicité de cette expression, d'introduire avec une désignation spéciale et comme un élément analytique propre la fonction de troisième espèce. Cette désignation cependant est consacrée par les travaux de Legendre qui ont précédé la découverte de Jacobi, et nous l'emploierons dans les énoncés des propositions suivantes.
102 OE U V R E S DE CHARLES H lil R M IT E .
A. — Échange de l'amplitude et du paramètre. L'équation fondamentale donne immédiatement
ou bien encore
n(^, a) — n(a,.'r) = aZ(^) — ^Z(a)
en introduisant la fonction de seconde espèce. Cette propriété peut être établie directement et élendue aux intégrales d'ordre supérieur par la méthode suivante qu'a encore donnée Jacobi. Soit cr?(cr) un polynôme de degré quelconque en x et
/v/o ( a ) dx {x-~a)^^{x)
la différence F(^, a) — F(a, x)^ ou bien la somme des intégrales
r \/(^[a)dx r \/(f{x)da
Jo (x — a) s/o{x) J^ {X - a) s/o(a)
peut être remplacée par l'intégrale double
Jr^' r^ dx da {^' {x) ^ (ù' {a)\{x — a) -^ 2o{a) — 2cp(a?)
0 Jo v/?(^)/?ÛÔ i{x — aY
Or on trouve aisément que la quantité placée entre parenthèses est une fonction entière de x et de a, de sorte que l'intégrale double se ramène à une somme de produits tels que
'■'■ a'^' da
r a'f^ da r x'^ dx
Jo v/?(^) Jo /?(^)
Le cas des intégrales elliptiques résulterait évidemment de là,
en posant
et prenant, pour variables x et a, les quantités , ^ . ^ et
sin^amrt.
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B. — Des fonctions complètes.
Supposons successivement dans réqiiation précédente
n ( ^, a ) — n ( a , ^ ) — a Z ( .77 ) — xZ{a)^ ^ ~ K et .r = K -h ?^' K' ;
en observant qu'on aura
ri(a, K -h jK') — G, on en conclut
ri(K, a) =:::aZ(K) — KZ(a)=: a J — KZ ( « ) et
I1(K -+- îK') - n(K) = ia}'— ili.'Z{a).
Telles sont les valeurs des fonctions complètes ou bien des intégrales définies
r ^ k^ sin am a cos am a A am a sin'^ am x dx
ii(K) — y —
n(K-i-ac)-ii(K) == i 'Ai
I — k'^ sin- a m a sin^ a m x
* ^^'^^ ^ k'^ sin am a ces smci \ ama sin^ am .t (^^r r — k- si M "-^ am a si n'^ a m ^
Si pour un instant on les désigne respectivement par II et iW ^ on aura les relations
Il{x-h'iK^a) =U{x, a) -h -lU,
n ( ^ -f- 2 f K', a) = n ( ^, (2 ) H- '1 iW et
Kn'-nK'==— .
Mais nous observerons, à l'égard de la fonction de troisième espèce, que l'intégration introduit, en modifiant le chemin décrit par la variable, un multiple entier positif ou négatif de -ny'^ — i, de sorte que ces relations n'ont lieu que pour certains modes d'intégration, tandis que les relations analogues relativement à la fonction de seconde espèce n'exigeaient aucune restriction de cette nature.
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G. — Addition des ai^guments.
Considérons, pour fixer les idées, un nombre impair d'arguments a, , a2, . . ., ^'m^\ ; liés par la relation
CCi -{— ^2 -\- . . . -H !X2/2.+1 ^^^ O,
l'équation fondamentale
donnera
II(a[, a)-i-n(a2, «^)-i-...-T- n(a2/z^-i, <2)
i ©(ai — t?)0(a2 — a). . . 0(a2Ai4-i — <^)
'2 ^ 0( ai 4- a) 0(^2 -Ha). . . 0(a2n-Hi H- a)
Cela posé, je dis que la quantité sous le signe logarithmique s'exprime rationnellement par
i sin amai, sin ama^, .... sin amao>,i-i,
f Dai sin amai, D^^sinamao, . . .; Da^^^^ sin ama2«-+-i.
Rappelons, à cet effet, qu'en désignant par f {x) et /^ (.^) deux polynômes entiers en ^ des degrés n et n — i et faisant
cp(^) = sin am:r/(sin2ama7) -i-D^sin am^/i (sin- am^),
nous avons obtenu (p. 184) la relation suivante :
AH {x — ai ) 11(37 ^ ag). . .H(^ — a2,i+i)
cp(^) =
OÙ les coefficients des polynômes / et /^ doivent être déterminés par les équations linéaires
a>(ai) = o, (p(a2)==o, ..., cp(a2,,) = o,
et sont des fonctions rationnelles des quantités (A). Cela posé, en changeant x en — x^ on en déduit
, ^ AH(^ -4- ai ) H(^-i-a2). . . H(a7 -^ aa/z-f-i)
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et il en résulte
cp(^) H(^ — ai) H(^ — «.2)- . • H (^ — a-2.n+i)
cp(— X) ~ H(X -\- OLi) R{X -h CC2). . ' ^{CC -+- Oi^n + l)
Or, en faisant d'où
la quantité
sinam^ = -, — ;
k sin ;
in a
. D^ sin ama
Dpc sin am ^ — -, — r-— 7
H (^ — ai) H (^ — as). . . H(^ — «2/^+1) H(^ -t- a,) H(.r -H a2). . . H(:?7 -h a2/i+i)
deviendra précisément
0(a — a, ) e(a — a2) ♦ . . Q(<^ — ^2^+1)^ 6 ( a -f- ai ) 0 ( a H- a2 ) . . . 6 ( « + «27^+1 )
Elle s'exprime par conséquent comme il a été annoncé, ayant pour valeur la quantité
ij Xk"^ sin2ama ' ~ \ k sin^ama / ^
/: sin anna*^^ \ ^2 sin2ama ^ \ /c sin- ama / '^^ \/{-2 sin^ am<2
I ç I I \ /Dg sin ama\ / 1
k sin ama-^ \/:2 sin'^ anaa/ \ /c sin^ama / "^^ \Â:2 sin- ama
qu'on ramène, en multipliant haut et bas par sin-'^+* am a, à la
forme
sin amaF (sin^ama) — D« sin ama Fi (sin^ama) sin ama F(sin2 ama) -f- D^^ sin ama Fi(sin2ama)
F(^) et F^(^) étant comme f{x)el f^i^x) des polynômes de degrés n el n — i en ^.
On peut donc écrire, en remplaçant l'argument cL^n+s par
— (ai -h «2-1-. . .-f- a2;i), l'équation suivante
II(ai, a) -4- n(a2, a) -4-. . .-^ n(a27i, a) = n ( «1 -h «2 -f- . . . -4- a2 ,^ , a)
I sin amaF(^sin2amr/ ) — D^ sin ama Fj (sin^ am a^)
•2 sin am aF(sin'2ama) -h D^ sin ama Fi(sin'^ ama) '
c'est le théorème de l'addition des arguments sous la forme trouvée par Abel.
D. — De différentes fonctions analogues à la fonction de troisième espèce.
D'importantes questions de mécanique conduisent souvent à réduire aux fonctions 0 des intégrales semblables à la fonction de troisième espèce et qui s'j ramènent par quelque substitution simple; aussi Jacobi, dans son mémorable travail sur la rotation des corps, a-t-il jugé nécessaire de donner le Tableau suivant, qui offre la réunion complète de ces diverses intégrales ainsi que leurs expressions sous la forme la plus simple par les fonctions 6.
*^ /f^sin amacosamaAam(2sin2am .^"^^ & (a) i, %{x — a)
I — k~ sin- am a sin^ am x 0(a) 2 6 (^-4- a)
fi
/"^ A-- sin ama cos ama cos^ am.-r 6^a? 0!, (a) i, Q{x—a) . ; ; rrr X — ~ 1 0 S * Aama(i — /x- sin-ama sin'^ama?) 0i(<^^) 2 0(^-t-a)
r ^ tang" a m a A am a A- am x dx J 1 — A-- siii- Rina sin'^ am.^?
loo
A am a cot am a dx R' ( a) i . S{x — a)
I — Z:^ sin- ama sin^ am„T H (a) 2 °0(^4-a)
Jf "^ sin am a cos am a A ; siii^ am a — sin-
amad.T 0' ( a ) 1 U(a -h x)
lo-
am X " 0 ( a ) 2 ^ U{a — x)
r ^' sin am a. cos am a A- a m x dx 0'i ( ^^ ) i i H ( a -H .r )
Aama(sin''am a — sin-am.-r) ' 0i(a) 2 ^H(a — ^)
Jr '^ ta n o- a m a A a m a co s - a n ' ^-^. ^-1 sm^am a — s m- a m (s
""-diWixdx H'i (a) I H(a + ^)
, ... ....... .Awx ~ Hi(a) 2 ^H(a — x)
r ^ A am a col am a sin^ d.\\\x dx H' ( a ) i , H ( a -1- ^ )
