X -T- K, a -I- K, X -h- jK', a H- ^'K

Hosted by

THÉOUIE DES FONCTIONS ELLIPT[QUES. 207

Ces quatre équations ainsi obtenues, on en tire les quatre suivantes par le changement de ^ en ^ + îK' ( ^ ).

Des fonctions de M. Weierstrass.

1] a été déjà remarqué que sin amx, cos am^, A am^, pouvaient, pour des valeurs de ^ moindres que l'unité, être développés suivant les puissances de cette variable en séries dont les coefficients sont des fonctions entières et à coefficients rationneis de k-, 11 en est évidemment de même de sin-am^, de la fonction de seconde espèce

de son intégrale / Z(.^) dx et même aussi de l'expression

mais, tandis qu'à l'égard de sin^amx, 7j{x) et / Z (x) dx les

développements ne subsistent que pour des valeurs de la variable dont le module est inférieur à l'unité, l'exponentielle

— / z (,r) dx

conduit à un développement convergent dans toute l'étendue des valeurs réelles ou imaginaires de x. Effectivement l'équation

ente par /

(^) Si l'on représente par / ¥ {x) dx Tune quelconque des huit formesdela

fonction de troisième espèce, F(^) aura pour périodes 'i K et liK', et les expressions précédentes s'obtiendront immédiatement à l'aide d'une expression générale des fonctions doublement périodiques, qui sera établie à la fin de cette Note, savoir :

F{x) =G-l-SR

les quantités C désignant les racines de l'équation - — - =o, et R les résidus cor-

respondants de ¥{x).

Hosted by

donne

-f ZUUlr -— 0(^)

Mix)= e ^0 = e 2 -1-J .

Voici donc une propriété bien digne d'attention de la fonction

6(x) de se changer par l'introduction du facteur e ^ ôTT^ ^^

une nouvelle fonction où l'argument est sorti du signe cosinus et où figure directement le module k- à la place des périodes et de

la transcendante q := e ^^ . Les mêmes choses auront encore lieu évidemment à l'égard de ces trois autres fonctions :

-f Z(.r)rfx -^1 H(^) I

A[(cc)i = sm ain ce e ^ o = e ^ -—7 — - --=:?

Al(;r)o = cos ania7 e «-'0 =e '^ —— — - {/-r^

Al(:r)3=: Aam^e^o =e ^ ttt— : V /^ •

Il en résulte qu'à côté des développements périodiques

2Ka7 I 2v/^sina7 — 2 v^^ sin3.^ -H 2 v/<7-^ sin5a7 — ... sin am = -— —^^-^ ^—^ — r— — 1- —^, a '

71 sJk ^ — 2^ 005237 -f- 2g* C0S4:r 2^-^008 0^-^...

Krr / k' 2 \i q cos^ -H 2^/^» cos3 x^rt \/ q'^'' cos5^-h . . . TU y k 1 — 2^ cos2.'y + 2 g'* cos4^'^ — 2 ^9 cos6a7 -4-. . .

r.osam -

2 \Lx /TT ï -^ 2 ^/ COS 2 37 -f- 2 û'^ COS Ix -^- 'iq'^ COS G 37 -f- . . .

A am = s/k' ^- \ ^ ^— ,

71 I 'iq COS ix -\- 'iq* cos4^ — 2g^C0S037 -f- . . .

on voit s'offrir un autre mode de représentation où ies fonctions doublement périodiques sont exprimées par des quotients de séries rationnelles en x et /r^, et convergentes quelJes que soient les valeurs réelles ou imaginaires de ces deux quantités. Abel avait entrevu et rapidement indiqué la possibilité de ce nouveau mode d'expression des fonctions elliptiques, mais c'est à M. Weierstrass que revient l'honneur d'avoir mis dans la Science, au lieu d'un simple aperçu, une théorie profonde qui conduit directement à ces nouvelles fonctions, non seulement dans le cas des transcendantes elliptiques, mais pour les transcendantes abéliennes à un nombre quelconque de variables. Ne pouvant exposer ici les prin-

Hosted by

cipes dont cet illusti^e géomètre a tiré ces grandes et belles découvertes, nous nous bornerons, et sans sortir des fonctions eUiptiques, aux indications suivantes.

I. — Définition des quatre fonctions K\{x). — Equations différentielles.

Afin de rattacher immédiatement ces fonctions aux quatre fonctions 0(^), nous poserons :

— / Z [X) dx

Al(.'r) = e *-^o ,

k\{x), sin am^ =

et, par suite,

Al(;^')

Al(^)2

Al(.^),

Ai(^)

Al/ ^ -^H(^) I

Al(5»;)2 — e

Des relations (A) résultent en premier lieu celles-ci :

A12{^)2 = A12(^) — Al2(^)i, Al2(a7)3 = A12(^) — X:^ Al2(a7)i.

Nous déduirons ensuite des égalités

Al(^) =e ^ ù

Al(^), Al(rr)

= sin am^,

deux équations différentielles, en prenant d'abord les secondes H. — IL i4

Hosted by

'210 ()E U V R E S D K C II A II L E S H E R jM I T E .

dérivées de logarithmes des deux membres, ce qui donnera

- — —% ^ — - — — a:2 sin^ 2imx — — k^- , ,, , — -

et

fZMogAl(;r)i 6^2iogAl(:y)__ r/^log sin am.y ^ /^Osin^am:?^

dx^" dx^ dx'^ sin^am^r'

d'où, à cause de l'équation précédente,

f/2lngAl(^), r ___A12(^)

dx'-^ sni^ am x A P ( a; )i

Voici, en développant, les équations différentielles qui en

ésultent :