d-'^k\(x) 1^^^^"^ dx
~ dk\{x^^ dx
■^-k'kY-i^x)^^ o,
On aurait d'une manière analogue, ou comme conséquence des relations algébriques.
Ces relations importantes que M. Weierstrass tire immédiatement des équations de définition :
<:/ sin am.T
= cos a m X A am ^,
dx d cos am x
dx d A am^
dx
— — sin am x A am^, : — k^ sin a m .r cos am x^
et par une méthode qui s'applique aux transcendantes abéliennes les plus générales, peuvent alors, par une nouvelle méthode, conduire aux fonctions ©, ou servir à démontrer directement qu'elles définissent des fonctions développables suivant les puissances de la variable en séries indéfiniment convergentes, et dont les
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T II I] O R I E D ï: S FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2 1 [
coefficients sont des fonctions entières de A- à coefficients rationnels. Toutefois, pour eff'ectuer les développements, on suit une voie difi'érente et plus simple dont voici le principe.
JI. — Equations aux différentielles partielles, — Formules de développejnent.
Une analyse un peu trop longue pour que nous puissions la rapporter ici a conduit M. Weierstrass à ces équations linéaires aux différences partielles, savoir :
■ ^ ^ H- 'iJf-x r- — - -h ikk'- T7— ^ M- /c- 3^2 Al {x) = o,
dx- dx dk
T-— ^-H 2/c"2;r , -■^- ikk^- tV-^ + ik'- -h k^x^-) A[(x)i = o,
dx^ dx dk
d"^ k.\{x\ .^ dk\{x\ dk\{x).i /9 9\ Al/ N
dx^- dx dk
• ~ -\-lk^-X T^ + 2 /i/c'2 —-L. !- ( /r-2 | 7^2 ^2 ) A 1 ( .2^ jg " O.
dx- dx dk
Ces relations importantes sont éminemment propres aux développements en séries, et l'on en tire les formules suivantes. Soit, en désignant le produit i . 2 . 3 . . . /i par n 1 ,
AI(a;) = 1 - A, - + A3 g-f -. . .H- (- r)'«-iA,„ ^^^^^. . . (1),
/yi2 0^4 ^2/?i
Al(x)2=i-G, -^ + G, ^ ...+ (,)™ c„,-
4! ■■ ' ' '"(am)!
Al(.)3=.-D,^ + D.^-...H-(-0"' D,„^^^
(^) Le terme en .2;'^ manque dans ce développement, comme on le voit a
prior pari l'expression e ^-^ 0 où la série en exposant commence par un
terme en x'\
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Jlz OKUVUKS DE CHARLES II E U M I T E .
on aura
Aa = .5i2(/v2-l-/cio)-f-3oo8r/:'« +A-8) -h 5/look^,
A7 = 2o48(/l2+/c12) + iy4o8(/c'*-|- /rioj-f- 49 568 (/c« + A'S),
Ag == 8 i92(/r2-!- A^i^) -H 90282 (A-^ + Â:i2) -j- 395620 (k^ + A-io) +- 603376 A-s
Ag = 32768(/r2+A-i6)-{-4g97r2(Â:^ + /ci*) -H 2 853 888 (A-^ + /c^^)
-l-5 668o96(/i:8-!-/vio), Aio= i3i072(A-2 + /ci8)-}-2 539 52o(/v:^ + AI6)-]- 1 9 097 600 (/l« h- Ai'*)
-1-38153728(^8+ Ai2)i 42090784^10^
Bi =
Bg = B7 -- Bs =
Bo ^
Bio =
Ci ^ G2 = G3 = G4 = Go -
G7 = Gg -~
- A8-i-i6(A-2+A6) — 6A\ -Aio+25(A2-i- A8) — 494(A^+ A6),
- A12+ 36 ( A2 + Aïo ) 5 78 1 ( /à -1- AS ) — 1 2 1 84 A^, -Ai^-4-49(A-2-i-Ai2)55i73(A'*-i-Aio)— i79 6o5(A^^-i- A»), -Ai6-t-64(A2-H Ai^) — 5o2 892(A'*4- A12) — 2 279488(A^'-t- A^o )
— 3 547 930 A8, -Ai8-4-8i(A2H- Ai6)4 537 5oo(A*+ Ai^) — 2 7i98 588(A6M- Ai2)
— .5933[498(A8-+- Aïo), -A2o}-i()o(A2-i- A18) — 4o856 7i5(A*-}-Ai'^) -3i 38oo8o(A6H- Ai^) — 9090i527o(A8+ A^^) [ 278530 856Aio,
