A2-H8AS

- [2A2+6oA^+ 32AS

-2oA2 + 348A^4- 448A6-H 128 A»,

■ 3oA2-i- 2 372A^-f- 4600A6-1- 2880A8+ 5 12 Al 0,

-42A2-1- 19308 A^ -4- 5i8t6A6 + 45o24A8-}-i6896Aio-}-2o48Ai2,

- 56A2H-i69 32oA^-t- 628o64A6-t- 767 264 A» h- 870 944 A^o

+ 93i84Ai2 h8i92AiS

-9 100288A10 + 2725 888 Ai2 i- 491 52oAi^H- 32768A16,

- 90 A2 -I- 1 3 623 480 /à H- 89 348 080 A6 -1- 2 1 1 064 400 A8 -2I936i824Aioh- 100242944A12-1-1 8450432 Ai^ -2506752A10+131072AI8,

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THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. '2 f 3

et

D3 = [9.8Â:2-H4'<8/c^-f-348/cG -H '20Â:8 4-/^10,

De = 5 [2 /c'^ H- 2 880 /•* -H 4 600 7^6 -}- 2 372 /v-8 -f- 3o A-io -i- /c^^

D7 = 2o48A-2-i-i6 896A-^-h45o24/i:6-}-5i8r6/c8H-i9 3o8Aio -+- 4-2 A12 -i-A;!'.,

Dg = 8 192 /c2 + 93 ï84/c^ -h 370944 /c^H- 757264/:8-[- 628064/^10

-f- 169320 /cl'- -1- 56A-1'' -}- A-16.

Dg = 32768/^2+ 491 52o/i:44- '2725888/06-1-9 100 7.88/c8

4- 1 2 998 928 A-io -h 7 094 592 /cl 2+ i5i5368Ai'^-i-72A-i6 i-/ci8, Dio= i3i 072/1:2 -}- 2506762 /t^ -I- 18450432 A^"^ 4- Î002429Î4 A-s

-4-219361824^10-4- 21 1064400 Ai2 H 89348080/:!^

-f- 13623480 /CIG -h 90/i-l8 l A-20,

Mais les équations aux différences partielles ne servent pas seulement à faciliter le calcul dont nous venons de rapporter les résultats d'après M. Weierstrass^ elles donnent encore, par exemple, une démonstration facile des équations suivantes, qui se rapportent à la transformation du premier ordre, savoir :

Al(/c^, j^ =A[(x,k), Al (z^-^, 7.) -= kM{x,k)^, Al(A-^,~y^=Al(^, /■).,

Al (kcc/j] :== AI(^, /C2)2, \ /^/3

A\{ix, k') =z e'^ Al(^, k).2^

IA\{ix, A-')2= e^ Al(^, k), A\{ix,k')-i~ e- A\{x, k)^.

INous remarquerons enfin qu'en passant ainsi des fonctions 6(x) à Al(^) qui ont perdu tout caractère périodique, les quo-

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'1 r. 4 OE U V llli s DE C II A U L E S H E R I\I I T E .

ÂU,r)i Al(.r), Al(^)3 .11111

tients --; — - > -, ,\ -> , ,\ , se trouvent posséder la double pe-

Al(^) Alica) A\{x) ^ ^

riodicité en vertu des relations suivantes, conséquence immédiate des équations (B), en se rappelant qu'on a

r — - et KJ' — K'J — -, k 2

savoir

et

; Al(a7 + '2K) ==-+- Al(:z-) e-2'T(.^' + K), A1(^ + 2K), =-- — Al(^).i e-2.)(.^'+K), Al(x-4-2K)2 = — Al(.^)2e-2Jl'^'+i^i, Al(^-h-2K)3 =.4- Al(:z7), e-2.M.r-hK)^

Al(;r-i- 2tK')i = — A1(.t)i e-2ij'i,r + nv'), A\{w-i- ■2iK').2 =^ Al(^).2e-2''J'('^' + ^'t^'',

Développements des fonctions elliptiques en séries simples de sinus et de cosinus.

Voici un nouveau mode d'expression analytique qui se distingue essentiellement de celui que nous venons d'étudier, en ce que la variable est assujettie à rester entre certaines limites déterminées, de sorte que, ces limites changeant, la forme du développement doit changer également. Toutefois, comme il suffit, pour embrasser toutes les valeurs réelles ou imaginaires de l'argument, d'un nombre limité de développements et que, dans chaque intervalle d'ailleurs, le développement convenable subsiste quelles que soient les périodes ou le module, on peut présumer que l'étude de ce mode d'expression ouvrira également la voie pour parvenir aux propriétés fondamentales des nouvelles transcendantes. C'est, en efiPet, ce qui a lieu, et l'on verra même ainsi s'oflrir naturellement la réduction aux fonctions elliptiques de toute fonction doublement périodique uniforme, c'est-à-dire la proposition de M. Liouville énoncée page 129 et qu'on démontrera ci-après. Mais, à un autre point de vue et par le seul fait des identités entre les séries et les quotients de séries, on se trouve amené aux propriétés des nombres les |)lus cachées et les plus importantes, propriétés dont

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l'intérêt s'augmente même par le lien si imprévu qui les rattache aux transcendantes de l'Analyse. Nous nous bornons ici à cette indication, ne pouvant entrer dans cette partie fort étendue de la théorie des fonctions elliptiques et qui est liée étroitement aux belles recherches que la Science doit à M. Liouville sur les fonctions numériques.