I. — Première méthode

C'est celle qu'indique naturellement l'équation (')

0 ( '— — ) =: A(i — iq cosaa; -^ cf-'){\ — 'iq^ q,o^'ix -4- q"')

En partant en effet du développement connu

I , , , ^ cos.i^log(i — iq cos'2a? -^ q-) = q cos2Cc -+- q^

„ cos6^ , cos8^

on aura

- log6 ( ) = const. — cos'2x{q -^ q-^ -^ q" -I-...)

cos6:z?

cos8a7 , ,

(^3 ^^^9 i qy^ -\~. . .)

ou bien

- loP-0 = coiist. ^ -^ ^ ^^—

'2 ^ V ^ / ^ — q" 'i{\ — qn

q'^ co?,Ç)X q'* cos'èx On en conclut les développements des fonctions de deuxième et

(') Voyez p. i4i.

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2 F 6 OE U V 11 E S DE C H A U L E S II E II j\I I T E .

de troisième espèce, d'après les relations c'est-à-dire les formules suivantes :

^ COS'2(:Z7 -i- a) ^2 (3os4(^ -h <^)

q cos'2(x' — a) q^cos/i(cc — -a)

TU /iKa

[qsln9.asm2X q^ sin /^ a s'in ^ x- g^ gin 5^^ gin 6^ 1

et

K /2Ka7\ ÇK- /qsinia.' ^^gin^,^ ^^ gin6^

En différentiant par rapport à x la dernière, on obtient encore

/q coëi.v ^q'^ cos/\JS 3q^ cos(]cc \

k^K^ . iKcc CK^ /q coë'2.v ^^'-^cos/i^ Sr/^cosG^ sm2 am = ^ ' ^ ' ^ ' ^

2Tr^ 7: 271

Mais c'est à sinamx', cos am^, Aam^ qu'il s'agit de parvenir, et le même procédé s'appliquerait, s'il était possible de les considérer comme les dérivées logarithmiques de fonctions décomposables en facteurs ainsi que 0(^). Or, on a, en effet,

, . <:/lo£:(A ama? — k cas dixncr) A:sinam^= —

ik cos am ce — il amx- =

dx d\o^{L avax -t- ik sin am^)

dx

(ilog (cos am^ -f- i sin ama^)

dx

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et les quantités sous le signe logarithmique s'expriment comme il suit :

A am k ces am ■

(i — 2 \/'q cos^-+- g){i — 1 yq'" coscc -h q'^){i — 2 yq'"^ cosa? ~i- q'^^j . . . (1 + 2 \/q cos^ -^ q) {i -i- 1 \J q^ cos^ -\- q'^) \\ -^^ 'i \/ q'^ cos^ ~^ Ç^J- ••

ilix ... . 'lli.T

A am h ik sin am

( I — 2 v/— qsmx — q){[ — 2 \/ — q'Hmx — q'^){\ — 2 \/— q'^sinx — q^) , . . (n- 2 \/ — ^ si n ^ — ^)( [ -1-2 v/ — q^sinx — q^){i-^2 / — g » si 11 a? — q'^) - • -

i\\.x . . iKx

ces am 1- i sin am

__ e^^^'(i — ^e-2^'^')(i — q'^e'^i^) (r — q'^e-^^^), .. ^ " (t— ^e2i^)(i qZe-^ix^ (i ^5^2/07). . . ^

de sorte qu'un calcul tout semblable à celui qui a été fait précédemment conduit aux formules suivantes :

k\\ . îKx y g sin X yc/^sln^x yq'^ sin 5x

• sin am — — = —^ h ^—^ : h ^ : — -4- . . . ,

2 TU 71 I — q I — q^ I — q''

kli -iKx yc/cosx yc/''^cos3x yg'^cos5x

cos am =: ^^ h ^--^ h ^-^ 7. h . . . ,

27r 7r IH-^', I -i- ^"^ i-hq""

K 2K.r I g cosQ.x g^coëix ^^cosô^

— Aam = T-H r + ' 7 ^ "^ ? ^

27r TT 4 I -h g-^ ï-\-q^ l-hq^

Quant aux expressions des quantités

A am^ — k cos am x, A am X H- ik sin am x^ cos am X -{- i sin am ^,

dont nous venons de nous servir, nous nous bornerons à établir l'une d'elles, la même méthode s'appliquant aux autres, et c'est la dernière que nous choisirons, les précédentes se trouvant dans les Fundamenta, car elles se tirent de l'équation (5), page 86, en y

changeant pour la première ^ en ^ ^ et pour la seconde q en — q.

A cet effet, soit pour un instant, comme page i4o,

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2l8 OEUVRES DE CHARLES II E R M l T E

l'expression qu'il s'agit de démontrer égale à

cos am^ + i sin am^ prendra cette forme

g 2 1^ cp (— .^ -t- « K' ) cp ( ^ -i- 3 z: K' ) cp (— ^ -4- 5 Hv' ) . . . cp ( ^ -+- t" K' ) 9 ( — a; + 3 t K' ) cp ( 37 -I- 5 j K' ) . . .

d'où Ton voit qu'on la ramènera déjà à avoir S(x) pour dénominateur en multipliant les deux termes par

Ao(— :r-i-iK')cp(^-l- 3tK')cp(— :r 4- 5ili')...,

A désignant une constante. Faisons donc

^P(x) == Ae^^ f-i— X -^ IK') oHca -h 31K') f^(— a; -h 5iK') . . . , on aura évidemment et, en second lieu,

^ V / ^ cp 2 ( ^^7 -t- 3 z: K )

Or on satisfait de la manière la plus générale par des fonctions entières aux deux conditions

en prenant

cï^(^)==: GH(^)-f-G,Hi(.r),

de sorte qu'on peut poser

g '-^ K ^ ( ^ ^ ^- j^' ) cp ( ^' -h 3 z: K' ) cp ( — ^ + 5 i K' ) . . . <p ( ^; -i- t K' ) cp ( — .-/; -^ ^ iK' ) <^ {X -{- 5 i K' ) . . .

=: A COS ^mx -i- iB s\n am^,

en désignant par A et B des constantes, qu'on déterminera par une hypothèse particulière. Soit par exemple ^ =:= o et ^ = K, on obtiendra immédiatement A = i , B= i, ce qui démontre notre formule.

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A cette occasion, je reniai^juerai que la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières anx conditions

[ ^{x -^ ^[iK') = ^^{cc) e i^ ,

qui comprennent les précédentes, est de prendre a^'ec quatre constantes arbitraires

^(^) = Ae(^)-i-BH(^)-i- G&i{x)-h DHi(^).

Cette expression qu'on voit a priori être solution, par les relations de la page i5i, est effectivement la plus générale; car, en supposant

ou plutôt

7;/ 2 j/i j Tx ,>•

la seconde de ces conditions conduira à poser

ce qui ne laisse bien subsister que quatre constantes arbitraires dans l'expression de (I>(^).

II. — Des séries précédentes ordonnées suivant les puissances de cj.

Ces développements se sont offerts d'eux-mêmes dans ce qui précède; ainsi, avant d'effectuer la sommation des progressions géométriques, a-t-on obtenu par exemple :

SI 11 a m = sin^ y q {\ -i- q -r- q'' -{- . . ,)

-h sin5^ \/ q'^ (i-^q'^'-^q^^-r-...)

//iH-l

si n 5,27 > \/ q'""

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OU bien, sous la forme d'une somme double,

-— sin am - — - = "V sin (2 u -H i) i/M^J^+ïïïïJiT+T) ^

Faisons donc

M représentera tous les nombres impairs, et le coefficient d'un terme quelconque y/^'^S dans la série, sera la somme de toutes les quantités sin(2 |JiH- i)^, où 2 [Ji4- 1 est un diviseur de M. Et, comme tout diviseur d'un nombre impair est lui-même impair, on pourra écnre plus simplement, en désignant par \k un diviseur de M,

/cK . i\ix

sin am - — ^ == ^ v ^"^^ ^ ^m\xx.

D'une manière toute semblable on obtiendra

IV K iM — 1 [J-— 1

— — cos am ■ = \ (— i) 2 /^^^ ^ ( — i) - cos[JL;r.

A l'égard de Aam^, si l'on désigne par N = 2''' M un nombre entier quelconque, 2'^ étant la puissance la plus élevée du facteur 2 qu'il contienne, de sorte que M soit impair, on aura

■ — Aam =--{->(— j) 2 ^N >(,•) 2 cos'2^-*-^îJL^,

où [X représente comme précédemment tout diviseur du nombre impair M. Il est impossible de ne pas être frappé du caractère arithmétique de ces expressions

^ sin \xx,

p.— 1 2(— 1) 2 cos[a^,

2(-l)"^C0S2V+lj^^.;

elles offrent un exemple des fonctions numériques qui ont été le sujet des belles reclierches de M. Liouville, et la manière simple dont elles sont amenées par la théorie des fonctions elliptiques peut aisément faire présumer le rôle de cette théorie dans l'étude des propriétés des nombres.

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THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l'il

III. — Vérification des équations différentielles fondamentales.

Désignons par m et iiï! tous les nombres impairs positifs et négatifs, par la lettre n tous les nombres entiers pairs et impairs; en posant

sj qm Q7iiix

\J q^^^' e^^^'ix

on aura

ikK . aK^

k K 2 K X ^ , — cos am ■ • = V.

Cela posé, aux équations

d sin am.^

dx d cos aiTi.r

dx correspondent celles-ci

= cos ama' A aiiL-r, = — sin ?^\\\x A a m x^ = — /r^ sin am.^ cos am.T,

que nous nous proposons de vérifier.

Considérons pour cela les produits

vw

WU

uv