V. — Proposition de M. Lioiwille

Nous fonderons la démonstration sur la formule précédente, en y supposant

<l» (s) étant une fonction doublement périodique uniforme dont les périodes seront, comme plus haut, 2 K. et ii¥s! . Alors les racines Ç comprendront les solutions des équations

Nous désignerons les premières par Ç et les secondes par ^ ^ en admettant toujours qu'elles soient représentées par la formule

t et II restant compris entre zéro et l'unité. A l'égard des résidas

^^ ^ / ^ ? on sait qu'ils sont éffaux à + i ou à — i suivant qu'ils

se rapportent aux quantités Ç ou (^', et, comme leur somme est nulle, on est amené à la conséquence remarquable que ces quantités ^ et ^^ sont précisément en même nombre.

Cela posé, et en désignant ce nombre par /z, on aura

d'où l'on tire, en désignant par A une constante arbitraire,

expression qui doit avoir les quantités 2K et 2iK' pour périodes. Or, en faisant usage des relations

et représentant la somme des racines J^ par SJ^, la somme des racines ^' par Sî^^, on trouvera

de sorte qu'il faut poser