H(3H.SO
Remplaçant clone le facteur exponentiel
-Tf
qui figure dans l'expression de ^I^ ( ^), par ce rapport de fonctions H, et posant
il viendra
CÏ)(.Sj ==: a
iK3-(;',)H(3-(;',)...H(^-i-2C')
Or on reconnaît au numérateur et au dénominateur de ^(^) les expressions que nous avons déjà employées en démontrant le théox^ème d'Abel sur l'addition des arguments. Si le nombre n est impair par exemple, l'expression
ll(z — t^) E(z — l.J. . . ïli z -h 1.1) 0''-i(3)
est celle qui a été considérée page 184, et qui s'exprime ainsi
F(x) et F, (x) désignant des polynômes de degrés — ^ — et — ;- — ; et X pouvant être pris égal à sinams, cos am^, ou A ami:;. Dans le cas de fi pair, elle coïncide avec la fonction désignée page 184,
Hosted by
Ijnomes entiers en x respectivement des degrés - et — —
par cp^ (^), et l'on a alors, en désignant par F(^) et f (.2?) deiiK pontiers en x respectivement des d
T^/ . « <r/sin am s p, . „
= sin am^ V (sm^ am^;) -\- ^ i(sin2 am>s).
dz
On voit donc que ^(^) est donné par le quotient de deux expressions de cette nature, et c'est précisément dans la réduction de la fonction doublement périodique à sin am^; et à sa dérivée que consiste la proposition que nous avons en vue d'établir.
La démonstration que nous venons de donner, reposant en entier sur l'expression générale d'une fonction doublement périodique F(^), que nous avons précédemment obtenue, savoir :
nous indiquerons encore un moyen d'y parvenir immédiatement^ en partant de Téquation
a / {{p -\- at) dt -^ b l î{p -^ a -v- bl) dt
— ai i{p -h b -hat)dt — b / { (p -^ bt) dt = 'ii-\.
Soient, comme plus haut,
a = '2K, b — liK' , et prenons
^^'^^^^'Utw^zY
Par la définition seule de la fonction H(^), on a
U'(z~-'2iK') E'(z) It.
l\{z — ii\i!) ~ H {z) "^ K '
t il en résulte
f(^ + 2K) =Hz),
î{z-^'iiK') = r(^)+ ^ F(.5),
Hosted by
de sorte que l'équation précédente se réduit à
I F(/)-i- 'iKt) clt = — A.
Or les divers résidus qui entrent dans A se rapportent d'une part à ^ = Çj, Ço, . . ., Çp^, et de l'autre à ^ =: ^; les premiers, s'ils correspondent, comme nous l'avons supposé, à des racines simples, donnent pour somme
^^H(^'-ço ^ ^-^ H(^-ç,) +•••+% H(^-C,y
et le résidu relatif à ^ =: ^, racine simple de H(^ — '^) = o? ^^^'^ évidemment — Y {^x). L'expression de A qui suit de là donne immédiatement la relation
J'ajouterai encore une remarque sur cette formule que j'écrirai, pour abréger, comme il suit :
En employant le théorème relatif à l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce (^), on trouvera aisément la relation
^j- \ = — — cotang am x A ama;
sin am.^
siij ani^ sin ain {x — -L)
%' ix) (M C'est la quantité -—7 — - gui entre dans Zix), mais on peut lui substituer
— — — r > à Taicle de la relation sin am x = —-. -— - — -> crui donne, en prenant Jcs
dérivées logarithmiques des deux membres,
— = cotang diinx A am x.
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. x'^^j
d'où résiille en substituant dans l'expression de F(^), et ayant
égard à la condition
cette nouvelle formule
^ ' jU h (g) jî^ sin amÇ sin am(a? — (,)
OU bien
^, ^ XT^ Rsinam.?7
i^ (57) = COnSt. + > ~ ^r—. ; zr.'
^ ^ .^^ sm am ^ sm aiii(^ — (,)
C'est donc encore la réduction de la fonction à double période à sinam^et à sa dérivée; mais la méthode plus rapide qui nous y conduit ne donne pas, comme la précédente, la relation importante, et que nous avons dû tenir à ne pas omettre, savoir :
S^ — EC-2(aK+(3iK').
Cette nouvelle formule résulte d'ailleurs immédiatement de la
seule condition
SR = o,
comme nous allons encore le faire voir. Considérez en effet la fonction
siQ aiii^ sin ani(^ — z)
dont les périodes seront 2K et iV^ . La somme de ses résidas comprendra d'une part ceux qui se rapportent aux racines de l'équation
c'est-à-dire
Au sin amÇ sin am(^ — X^Y et puis les résidus relatifs aux deux équations
sin am^ = o, sin am(a7 — .5) 1= o.
Or, dans l'intervalle des périodes 2K et 2^'K^, on n'aura d'autres
Hosted by
^38 OEUVRES DE CHARLES IlERMITE.
racines que ;: = o, z=^x^ auxquelles correspondront les résidus
on a, par conséquent
Ak4 siii a
aiii^ biii aiii(^' — t) sin aiïia; sinarji^ d'où
R sin am x SI 11 a LU t siii a 111 {x — t)
D'une manière toute semblable on trouvera relativement à une fonction 5'(^), satisfaisant aux conditions
l'expression très simple
sin aiii {x — t)
où figurent seulement les racines Ç qui sont renfermées dans l'intervalle 2K. et 2iK', et exprimées par la formule
t — p ~\- 'ili t -^ '}. i\sl u.
t et u étant moindres que l'unité.
Nous nous arrêterons à ce point dans cette Note, pensant ainsi avoir à peu près coipplètement esquissé l'ensemble des notions élémentaires de la théorie des fonctions elliptiques qui précède l'étude de la transformation.
Hosted by
