SUR LES THÉORÈMES DE M. KRONECKER, ETC
Et ensuite pour
( /;,o =:: 0{m), [ Ii/q = O,
( Aj r= o, ( A'i = O ;
/ Ao = ç(/?2), / a; = o,
i /^i = -i cp(7?z), i a; = ^ ^(m);
Al == —-— o(77i), Al ^ — ^ ^{fn).
On en conclut
^(2h,^ a; - 2 Ao - K) ryA :=. ^ ^"'\^ ~ '- ? (^^0 ^/''^ Il en résulte qu'en remplaçant dans l'équation fondamentale
les trois séries par leurs valeurs, on verra les deux premières détraire cette partie qui provient des formes ambiguës, et il restera simplement
Toutefois, si A est un carré ou le triple d'un carré, le terme général doit être remplacé par
ou
Mais on peut éviter ces deux cas d'exception en ajoutant deux sé-
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ries de termes de la forme ^'^' et 5^^'^'; si l'on fait, pour abréger,
on aura de cette manière
Of = 2 '^(^0 - ^50 ^A H- 3 0 + 4£ - C).
C'est le résultat auquel est parvenu M. Kronecker, en employant la considération des modules qui donnent lieu à la multiplication complexe, car, d'après les dénominations de ce savant géomètre,
on aura
et, par suite,
On a donc deux méthodes absolument distinctes qui rattachent par un double lien à la théorie des fonctions elliptiques les propositions de Legendre et de Gauss sur la décomposition des nombres en trois carrés. Ces illustres géomètres, en poursuivant au prix de tant d'efforts leurs profondes recherches sur cette partie de l'Arithmétique supérieure, tendaient ainsi à leur insu vers une autre région de la Science et donnaient un mémorable exemple de cette mystérieuse unité qui se manifeste parfois dans les travaux analytiques en apparence les plus éloignés.
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SUR
Comptes j'eiidus de V Académie des Sciences, t. LV, 1862 (II), p. G84.
La méthode de M. DirichJet pour la détermination du nombre des classes de formes quadratiques de même déterminant, et celles qu'on a tirées récemment de la considération des fonctions elliptiques dans le cas des déterminants négatifs, conduisent pour la même question à des solutions tellement différentes, qu'il semble aussi difficile de trouver un lien quelconque entre leurs résultats qu'entre les principes sur lesquels elles se fondent. Ce que laisse à désirer à cet égard la théorie des formes quadratiques parait tenir à l'absence de quelque principe essentiel auquel on serait sans doute amené, soit en découvrant une démonstration purement arithmétique des propositions de M. Kronecker, soit en tirant de la théorie des fonctions elliptiques les expressions mêmes de Dirichlet. En accordant la préférence à ce dernier point de vue, j'ai dû, comme première préparation, faire de la méthode de cet illustre maître une étude qui m'a conduit peut-être à abréger et à simplifier en quelque chose son analyse, et voici sous quelle forme je la présenterai.
Soit
un nombre entier décomposé en ses facteurs premiers a^b^c^ • • • ) '^ 5 l'expression
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OU, en développant le produit des facteurs binômes,
ni
abc ' ' ' abc. . .k
représente le nombre des entiers moindres que m et premiers avec lai. Je commencerai par généraliser cette expression en considérant le nombre des termes premiers à m dans la suite
où n est quelconque. Si l'on désigne, suivant l'usage, par E(.2^) le plus grand entier contenu dans x^ ce nombre sera
abc } ' ' \ abc . . .k
Pour plus d'uniformité, je remplacerai le premier terme n par E(/?.); on obtient par là une expression où il est possible de mettre, au lieu du nombre entier /2, une variable quelconque x^ à savoir :
*(.) = E(.)-yE(ï)^yEfi:UYEm-....±E
aj ^sÀ \ab] ^d. \abcj '" \abc...k
La signification arithmétique de cette fonction sera d'exprimer le nombre des entiers non supérieurs à x et premiers à ni^ en faisant toujours
m = a'^b'^cY. , . A>^.
Pour m =: I et afin de compléter la définition, nous conviendrons de poser
c'est-à-dire de réduire la formule à son premier terme. Enfin, en désignant par s une quantité comprise entre + i et — i, et par jj« le nombre des facteurs premiers, «, Z>, ..., /r, on voit aisément qu'on a
c'est la propriété de cette fonction dont nous ferons principale-
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Soit encore à trouver le nombre des termes de la suite
qui sont en même temps premiers à m et divisibles par un nombre donné i. Gomme les multiples de i dans cette suite sont
?.', 2 i, Si, . . . , E ( — ) ?*j
ce nombre est le même que celui des entiers non supërieurs à - et premiers à in\ ainsi il est donné par l'expression $ ( - j • C'est à ce moment que se justifie notre convention de faire, pour jn = i ^
car alors la formule doit donner le nombre des multiples de i qui
ne sont pas supérieurs à /i, et par suite coïncider avec E ( - j • De
là résulte entre <ï>(^) et E(^) une certaine analogie de rôle que la question suivante rendra manifeste.
Soit F(/i) une fonction ainsi définie
la somuie comprenant tous les nombres i qui sont diviseurs de n. On vérifie aisément qu'on aura
En effet, dans le premier membre un terme quelconque /(i') est
amené par toutes les quantités F(/r) où k est multiple de /; il se
trouve par conséquent répété autant de fois qu'il y a de multiples
de i dans la suite
et c'est précisément ce qu'exprime le second membre. Modifions H. - II. 17
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maintenant cette relation en introduisant d'abord la condition y,(^) = o, lorsque l n'est pas premier à un nombre donné
m ^^ a^ bvcl . . . /c^,
et posant ensuite
lorsque pareillement k n'est pas premier à m. On voit alors que
dans la somme ^ F(A') un terme /(O ^st autant de fois répété
1 ^ qu'il y a dans la suite i , 2, 3, . . ., ^ de termes divisibles par i et
premiers à m. On aura donc, au lieu de la relation précédente,
celle-ci :
2,Pa,=2/('-.*(T;
que nous emploierons bientôt à la recherche du nombre des classes. Mais il est nécessaire de rappeler d'abord quelques résultats sur la représentation des nombres, par le système des formes non équivalentes, de même déterminant D.
A cet effet, nous désignerons par n un entier positif, impair, premier à D, et, en nommant S^ le plus grand carré qui divise D, nous ferons
Cela posé, voici les deux théorèmes fondamentaux établis par Dirichlet au moyen des considérations les plus élémentaires et qui pourraient être placés parmi les premières propositions de la théorie des formes quadratiques.
1° Le déterminant D étant négatifs la somme OU i désigne tous les diviseurs de n^ et l — \ le symbole généra-
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THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 'lôg
Usé de Le gendre, ex prune de combien de manières différentes (^) t^ entier n est susceptible d'être représenté par les formes non équivalentes, composant V ordre proprement primitif de déterminant D.
i"" Le déterminant étant positif, Ict même expression, sauf le facteur 2 qu^on supprime,
donne/et encore le nomb/'e des représentations de n par les formes non équi<s>alentes de V ordre proprement primitif ^ mais sous les con ditions suivantes : Premièrement, on choisira, pour représenter n^ des formes
ax- + 1 hxy + cy'^- ,
oh a soit positif et c négatif; en second lieu, x et y devront être positifs et satisfaire à cette condition
OÙ T et U sont les plus petits nombres qui donnent
