T-2 DU2 = I

On voit que dans ces propositions figurent exclusivement les nombres impairs et premiers au déterminant. Les valeurs des indéterminées X et 7, qui rendent ainsi une forme impaire et première à son déterminant, se distribuent en certains systèmes, tels que

(A) :z7 = 2Dp-i-a, jK = 2Dw-h^,

V et w étant des entiers arbitraires, a et [3 étant choisis dans un système de résidus suivant le module 2D. Leur nombre, si l'on

(1) Les déterminants — i et — 3 font exception, le nombre des représentations étant respectivement pour ces deux cas :

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représente par D^ la valeur absolue de D, est

2Dicp(Di) ou 4DiT(Di),

selon que D est impair ou pair. Ce dernier résultat rappelé, voici maintenant de quelle manière, en n'ayant en vue que la détermination du nombre des classes, il nous a paru possible d'abréger la belle analyse de Diriclilet.

Revenons à l'équation

pour y faire

OLi(-r ) est le symbole de Jacobi, avec la convention de poser -r ) = o lorsque i ne sera pas premier à D. Alors les expressions.

suivant que D est négatif ou positif, donneront, en vertu des propositions précédentes, le nombre des représentations de l'entier n^ parle système des formes proprement primitives de déterminant D. Mais ces propositions supposent essentiellement n impair et premier à D, de sorte que, pour tout nombre k qui ne satisfait pas à ces deux conditions, nous devrons supposer F(A-) =: o. En conséc[uence, il faut déterminer la fonction <ï> en prenant m =: 2Di, ou simplement m = D, , selon que le déterminant sera impair ou pair. Pour mieux préciser, bornons-nous au premier cas : les expressions

F(n) = -2 V (^^) ^ (^\ pour D négatif,

¥{n) = "5^ ( "^ ) "^ ( w P^"^ ^ positif,

auxquelles nous sommes ainsi amenés, donneront donc la somme des nombres de représentations pour tous les entiers positifs, impairs et premiers à D de un à /?. Or on peut obtenir cette même somme en se plaçant à un point de vue bien différent, comme on va voir. En supposant d'abord le déterminant négatif, faisons correspondre, à chacune des formes (a, 6, c) qui composent l'ordre proprement primitif de ce déterminant, une ellipse ayant pour équation en coordonnées rectangulaires

ax^ -\- 2 bxy + cy^ — n.

On reconnaît sans peine que le nombre des points dont les coordonnées sont exprimées par l'ensemble des formules (A),

X =^ iDv ^ (Â^ y — iiyw -^ ^,

et qui sont situés dans l'intérieur et sur le contour de cette ellipse, donne précisément cette somme des nombres de représentations par la forme (a, 6, c) des entiers considérés ci-dessus. En second lieu, supposons D positif, nous aurons un résultat entièrement analogue, en faisant correspondre à chaque forme (a, 6, c) de l'ordre proprement primitif une hyperbole

ax'^ -+- 1 bxy -+- cy^ = n.

Effectivement, d'après les conditions propres aux déterminants positifs, le nombre de points dont les coordonnées sont l'ensemble des formules (A), et qui sont compris dans l'intérieur ou sur le contour du secteur hyperbolique, terminé d'une part par les droites

aV ^ T - bU

et de l'autre par la branche de courbe s'étendant du côté des abscisses positives, coïncidera avec la somme des nombres de représentations appartenant à la forme (a, è, c).

On va voir quelle conséquence importante résulte de cette seconde manière d'exprimer F(/i).

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Rappelons, à ceL effet, la proposition de Dirichlet sur le nombre des points compris dans l'intérieur d'un contour fermé, et donnés

par les formules

^ = a(^ H- a, y = bw -H [3,

OÙ ^ et iv prennent toutes les valeurs entières de — oo à + oo. Si l'on suppose a et b positifs, ainsi qu'on peut toujours le faire en changeant le signe de <^ et cv, et qu'on désigne l'aire du contour par (7, on aura sensiblement —j pour la valeur de ce nombre quand aest très grand. Ce résultat ne contenant pas a et [3, si l'on a [j. systèmes de valeurs des coordonnées ne différant que par ces constantes, —y sera la somme de tous les nombres de points ainsi ' ab ^

exprimés et qui sont compris dans l'intérieur du même contour. Cela posé, l'aire de l'ellipse

ax'^ -f- •! hxy ~\- cy- = 72 où b- — ac = — Dj

est

celle du secteur hyperbolique,

/ilog(T + U»/D)

le nombre [j. des systèmes

;r = 2Dp + a, y = 'iX) w -^ ^, puisque nous supposons le déterminant impair, est

'2Dicp(D,).

dans le premier cas^

A^insi -— sera

/icp(D)lQg(T-+-U y/P)

dans le second.

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Telles seront donc pour n très grand les expressions approchées de la somme des nombres de représentations par une forme (a^b^c) de déterminant D positif et négatif des entiers positifs, impairs et premiers à D qui sont compris de l'unité à n. Ces expressions ne contiennent pas a, 6, c; le déterminant seul y figure, de sorte qu'il suffira de les multiplier respectivement parle nombre A, des classes de l'ordre proprement primitif, pour en conclure la valeur approchée de la fonction précédemment désignée par F(/z). Il vient ainsi