REMARQUES

LE DÉVELOPPEMENT DE eos.

aiTi X.

Comptes rendus de V Académie des Sciences^ t. LVII, i863 (II), p. 6i3 et Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX, 1864, 2*^ s., p. '289.

En développant suivant les puissances de l'argument les trois fonctions sinani^, cos am^, A am.^;, on obtient les séries suivantes :

sin am ^ = ^ — (i h- /r^ ) — ^ — - +- ( 1 ] [ 4 A;2 4 /^4 j

cos ama; = i — h (i + 4^^^) '

Ld^mx — \ ~ k'^ h ( /f '^ H- 4 k^ ) ■

1.2 1.2.3.4 OÙ le coefficient d'un terme auelconcrue, ^ ? :^ ?

est une fonction entière et à coefficients entiers du module A--. Mais jusqu'ici il n'a pas été possible d'en obtenir l'expression générale, et tout ce que l'on sait à leur égard résulte simplement des relations

sin am ( kx^ -] = k sin am (^, k)^

cos am ( kx^ - ) = A am( ^, k).

On reconnaît ainsi que les coefficients de sinam^ sont des polynômes réciproques et que le développement de cos am^ donne immédiatement celui de A am^. C'est de cette fonction, cosam^, que je vais m'occuper en ce moment, me proposant d'établir

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REMARQUES SUR LE DÉVELOPPEMENT DE COS am^. 26Ô

à l'égard des coefficients, dont voici les premiers d'après Gudermann :

IH- 4<>8 /c^ -I- 912 /c^ + 64 A:6,

la remarque suivante :

Posons A" = cosÔ et introduisons les arcs inultiples, au lieu des puissances du cosinus; en les multipliant chacun par k^ on trouvera successivement

/: + 4^'^ = 4 cos6 -\- cos3 0, k 4- 44A3-t- i6/f5 == 44 cos6 -H 16 cos3e -}- cosoO, k -f- 408 /:=^ -4- 912/:^ + 64/x-^ — 912 COS0 -{- 4^8 cos3 6 -+- 64 cos5B -4- cos; 6,

On aperçoit dans ces égalités que les puissances de k et les cosinus des multiples de 9 ont précisément les mêmes coefficients.

Or, en général, si Ton représente le coefficient de —

' ^ ^ r 1.2.3.. .{in -I- 2)

dans le développement de cosam^ par

AqM- Ai/c2-h As/c^'-h. .

on aura cette relation :

• knk^^' -

V A,- cos2^'+i 6 = y A,' cos( 2 ^1 + 1 — 4 z:*) 6,

qu'on peut facilement démontrer, comme on verra. Mais je veux d'abord faire voir, par un exemple, comment elle sert à calculer directement les nombres entiers Ao, A^, Ao, etc.

Soit /i ==: 4 * en faisant, pour simplifier, A/==4^<^/7 ^^ posant Ao = I , on trouvera, en remplaçant par les arcs multiples les puissances du cosinus

cos6 4- 4«i cos-^6|^- i6<^2 <"^os^6 -\- 64<^3 cos'^O -i- 256^4 cos^ô

= cos6 -^ ai(cos 3 6 + 3 cosô) + «2(005 5 6 -1- 5 cos36 -f- 10 cos6) -4- «3(00576 -1- 7C0556 4- 21 005 36 h- 35 0056) -f- «4(00596 -\- 9 00s 7 6 H- 36 00s 5 6 -t- 84 005 3 6 -h 126 cos6).

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On en conclut, entre les quatre inconnues, les cinq équations que voici :

i&a.2 = I H- 3 ai -j- 10^2+ 35«3-i- 126^4, 6/ias = ai -f- 5^9+ 21 «3 4- 84<^4, 206^4 = «3+ 9^4.

Leur somme conduisant à une identité, on peut omettre l'une d'elles, et, si l'on exclut la troisième, un calcul facile donne

ce qui conduit en effet au coefficient rapporté plus haut, d'après Gudermann. Laissant de côté l'étude de ces équations considérées en général, et me bornant à remarquer les valeurs

A,. = 4^ A,^-, = 4^«-i — f2/i -Hi)4'^-i,

j'arrive à la démonstration de l'égalité

^ A/ cos2^"^-i6 =^ A/cos(2/i -+-I— 4^)6,

et à cette occasion, comme j'aurai à faire usage de la transformation du second ordre, je vais donner diverses formules qui s'j rapportent et qui peuvent être utiles dans bien d'autres circonstances.

La principale, celle dont toutes les autres peuvent être tirées, est

Va-