DANS

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. LVII, i863 (II), p. 993 Ql Journal de Matliématiques pures et appliquées, t. IX, 1864, 'i*^ s., p. 3i3.

Les expressions en produits infinis des fonctions elliptiques, savoir :

2 K ^ I •i\l qûwx{\.~iq''- cos 'ix-\-q'){^i — iq'^ cos 2 :p h- q^\ i — 2^*^ cos 2 ^ -i- ^^2),

71 J\ (l 2^ COS2;r M-^'-^)(l 2.^"'^COS2.r-i-^*^)(l 2 ^-^ COS 2 ^ H- t^ ^") . . .

lY^x /k' 2\/ q cosx{i^2q^cosix-{-q^)(i^2q^cos'2X^q^)(i-\-'iq^co^2X -^q^'^)...

TC y k (l 2 ^ C0S2:î?-r- ^^)(l — 2 ^"^ COS 2 ^ 4- ^ '^) ( l — 1 q^ CO'è'l X -^ q^^) . . .

2 K ;r ,j-, {\^ 'iq cos 2 ^ -h 9^ - ) ( i -h 2 g '^ cos 2 a? H- ^^ ) ( [ -h 2 g^ cos 2 a:^ -4- ^ ^ *> ) . . . am = Y k — — : r— ?

TU (l — 29- (^08257 4- ^^)(^I — 2Cjr-^ C0S2^ -i- ^f' )'^1 — 2 ^^ COS 2 ^ -h 9'^*^) . . .

donnent immédiatement, pour la racine quatrième du module et de son complément, des fonctions uniformes à l'égard de la variable w définie en posant q = e^'^^. C'est ce qu'on voit dans les Fundamenta, § 36, où sont établies ces relations

OU encore sous forme entière

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Mais cette conséquence importante ne résulte pas des développements sous forme de quotients de séries des mêmes fonctions, savoir :

2K^ r i^/qsinx — 2 i/c/'^ s'inScc ^ 2 vc/^^ s'inox -

sin am = — — — ^-^^ ; ^^—^

TU J /. I — '2q cos'ÀX -^ iq^ cos,^x — 2^''*cos6^-

2lix ^ /k' 2 sj q C0S.2? -V- 2 \/ q^ cos 3 x -i- 2 v/V/'^s

cos am = i / .- ^L-L h-L l z —

7ï y K 1 — 2q C0S2X -^ 2q* cos l\X — 2 q'^

cos 6 a? -f- 2q cos 2^ -f- 2^^ cos 4^-1- 2^9 cos 6^ -1-

l — 2q cos 2 57 -

iq^ cos,| ^ — 2q'^ cos 6^ ■

car c'est seulement alors la racine carrée du module et celle de son complément qui sont données en fonction de q par ces for-

de

/-jj ^ l—2q-+-2q^-2q^-h.,. ^

Dans cette Note, je me propose d'établir, pour

sin am^, cos a m ^, A am^,

de nouveaux développements en série de sinus et de cosinus analogues aux précédents, mais qui donneront aussi bien que les produits infinis les racines quatrièmes de k et k' comme fonctions uniformes de la variable co. On en déduira, en effet, ces formides remarquables, où le signe ^ s'étend à toutes les valeurs positives et négatives de n

V q^fi'-^n

iyiq2fr'+n

gin^

^+ri

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et auxquelles Jacobi est déjà parvenu dans son Mémoire intitulé : Uber unendliche Reihen, cleren Expoiienteii zugleich in zwei verschiedenen c/uadratischen Forrnen entlialten si?id, en les déduisant des produits infinis en q rapportés plus haut. Les propriétés si importantes auxquelles donnent lieu ces quantités \/k et y k' ^ lorsqu'on y remplace co par — -y—? <^5 b^ c, d étant des

nombres entiers assujettis à la condition ad — bc = i ^ résultent de ces formules et peuvent être établies, comme j'espère le montrer, d'une manière simple et facile.

Pour abréger l'écriture, je conviendrai de désigner les quatre fonctions

'' 2 K ^ \ ^ / '2Kcc\ ^^ /■2Ka?\ ,, / 2 K ^ '■

par 9(^), 9i(^), '^{^)^ '''ï\{^)') de sorte qu'on ait, en mettant en évidence la quantité co dont il a été question tout à l'heure,

6 (^, co) := [ — iq ces 2^ -t- 'iq^ cos4^ — 2^9 cos6^ -H. . .,

0, (^, W) == I-i- 2^ ces 2^ -1- 2^^ C0S4^ -H 2^9 C0S6^ -h . . . ,

y; {x^oj) — i\/ q sin^ — i\/ q^ sin'Sx + i\j q^-^ sinii^ — . . .,

'r\\{x^ W) = 2 y/g ces 37-1- 2\/g9C0S3a7-i- 2\/g2S COs5a7 -H. . . .

Gela posé, la transformation du second ordre donnera ces deux systèmes de relation