ri? (.2; H. - II

VT^«(-l)l\/v'

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0 (jt-, oj ) 0i(^, oj) = \J k' 6(9.^, 2W ) 4 / - — 7 Y] (^, (x))r,i(i?7, w) =: y//c' 7] (2 a;, 2(jo)4 /^^ — ,

-r] (37, CD ) 6 (^, w)

^ TQiCrr, w)6.i(^, w) = -^-rii (^, -1 1/ — ,

Y] (^, W) 61 (^, to) =

r]i ( 37, w) 6 (37, co) :

" '\Jkk'

" s/kk'

et c'est le second dont je vais faire usage comme il suit : Considérons, par exemple, le sinus d'amplitude : on aura

2K37 r 71(37, tjû) I 71 (37, co) 6.1 (37, w)

sm am = —-= -^ = — r ■^. -5— ( •

TT ^7^6(37,0)) ^X: 0(37, 0)) 61(37, w)

Or, en employant la première et la cinquième de ces relations, on obtiendra de suite

ou bien

s/'^sjk 0(237,20))

iK37 y/2 y/9' sin37 + y/^9 sinS-T? — y/^^bginS^

^/^ 1 — 29^2 C0S4^ 4- 'iq^ COS837 — 2 9^18 COS 12 37 -

et le même procédé de transformation, appliqué à cos am 2K37

et A am ^ donnera les résultats crue voici :

\/'lsJk 9(22?, 2W) ^/f

X ^2/^2|/^ cos (4 /î -1- 1)37

/^, ^~^ ^ j 2^~ O^^^'^/i^+zi^Qg^^^^,^ J^^^

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et, en second lieu,

ilix i/'ie^ 'r\(2X, 2 0J) I ' jh^-^

am = S— ^^ '- = 7-=: ^ ?

^ v/2 v^^ V ^S'^'+^" sin(8^ -h -2)^

cos am ■

Tels sont donc les modes nouveaux de développement des fonctions elliptiques, qui manifestent immédiatement que les quantités \/k et \/k' sont des fonctions uniformes de 03. Il suffit en effet de poser ^ = o dans les deux dernières équations du premier groupe pour obtenir

~) s/'2>\/'q^(—iy'q^'''-^''

s/~^ 6(0, 20a) 2(~iy^-^^^^

zjTç 'n 1 ( o

co -F I '

'^nlO, -j ^q^n^^n

c'est-à-dire deux des formules rapportées plus hauit d'après Jacobi, et dont les autres se tirent aisément, comme nous le verrons bientôt. Quant aux équations du second groupe, elles donneraient, en prenant le rapport des dérivées, deux termes pour ^=: o,

'2 v/2 sjq"^ 2 ^ ^ '^ "^ ^ ) ^8/.2+4/i

\Jk'-^=^

les signes 2, s^é tendant, comme précédemmeni, aux valeurs posi-

tives et négatives de n.

Mais ces nouveaux développements n'ont pas seulement pour objet de conduire à ces conséquences, que je vais donner principalement en vue de l'étude des quantités '\/~k et '{/ k' ; j'en indiquerai encore un usage dans la question suivante :

La dérivée de sinam^ étant exprimée par

^{\ — sin^ am^ ) (i — k~ sin^ ama?),

il est naturel de se demander si les combinaisons suivantes des facteurs du radical

\ (;27, k) =r y/( 1 4- sin am^) (i -H k sin am^),

X| ( ^, k) = v/( i -T- sin am ^ ) (i — k sin am cû ) représenteront aussi bien que

cos am^

= y/i — sin'^ am^ et A am^ = ^1 — k'^ sin^ am^

des fonctions uniformes de la variable. Or, en désignant par a une racine quelconque des équations X[x) = o, )\| (x) = o, on reconnaît aisément que les développements ).(a -+- s), X, (a -j- s) commencent par un terme proportionnel à e, de sorte que d'après les principes connus (' ) on peut assurer déjà que ces fonctions sont uniformes. On trouve en effet, par exemple,

^ , ^, , / r V I — Â:sin2am£ — cos ams A ams

et la quantité sous le radical est une fonction paire de s, qui s'annule avec cette variable. Mais il reste à trouver leur expression analytique, et l'on y parvient d'une manière facile comme il suit.

(^) Voyez l'ouvrage de MM. Briot et Bouqu^st sur les fonctions doublement périodiques.

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Changeons k en ^ et :i? en (i -[- k')x^ en employant la formule

[,,, I — k'^ (i -h A') sin am.'27 ces ama? {\ -^ k )x^ — ^ — 77 =

A am^

on trouvera

{i-\- k' )oo^

A am^ \, 1(1-4- A:')^, ^^^ 1

y/t — /c2 sin'* am^ h- 2 sin am^ ces ani^ A am^,

= v/i — '2^" sin'-^ aniJ^H- A:'- sin'^ dim.x ^ik' sin ama? ces ama? A am^r.

A am X

Or il arrive que les quantités sous les deux radicaux sont des carrés parfaits, à savoir :

( ces am^ -T- sin am.'T A am:r )- et (/r' sin am.'r -h cos ama; A am^z;)''^, de sorte qu'il vient simplement

A ( I -^ k' )x. )-. = si

Posons encore avec Jacobi

cos am^ m am^ H = sin am^ -h sm coam.r,

A am X

k' sin am^

cos am^ H = cos am^ -t- cos coam^.

A am.r

ces quantités désignant ce que deviennent k et K parle changeent de et en r/^ ou de co en 203, et mettons ^^ — '- au lieu de ^ ; on

ment

de q en ^^ ou (

le 03

aura

Tï

2K^ . aKa?

= sm am h sm coam ?

= cos am h cos coam

C'est à ce moment que nous ferons remarquer l'avantage des nou-

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velles formules

iKx e sin am

iTl ( tu ■+- ï

T/ /T' "^ii ^'

car elles donnent, avec le même dénominateur,

cos coam

2K^; I Jk' '"^(^'2/

de sorte qu'ayant, comme on le vérifie de suite,