Z7 — ir (JL

r 2 > ( — l)« g «'cos 2 7137

Dans ces formules, k^ ei k[ désignent ce que deviennent le module

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el son complément par le changement de w en -, et ont pour

valeur

Sous forme de séries simples, on aurait

. ,r V /- v^ "^°° g«cos(4n-l-0 ( - — 7

^'^ cos(4 7^ H- 1) (

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SUR

Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LYII, t863 (II), p. 750.

En représentant, suivant l'usage, un système de p quantités indépendantes par la notation ^/, où l'on suppose

toute substitution entre ces quantités pourra se représenter analytiquement de la manière suivante :

la fonction 8 (i) étant déterminée de manière à reproduire dans un autre ordre l'ensemble des p valeurs de l'indice. Ce n'est, il est vrai, qu'une abréviation de la notation explicite

011 a, Z>, .. ., k sont les nouveaux indices, et qu'on obtient immédiatement par la formule d'interpolation; toutefois, on verra qu'on en tire quelques résultats intéressants, au moins à l'égard des fonctions de sept lettres, en prenant pour symboles de distinction, au lieu des indices /= o, i, 2, ...,/? — i , un système de résidus suivant le module/?. Sous ce point de vue, la formule d'interpolation se simplifie en effet, comme nous allons d'abord le montrer. Soit, pour un instant,

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on aura, comme on sait,

a7Cp.'(0) (^ l) cp'(l) ~^' ■ * {X — p -^I) ^' {p —l)

Or, en supposant p premier, et employant le théorème connu

co(.^)^^/^ — X (mod^), d'où

cp'(a7) = — I.

on trouvera immédiatement

%{cc) = ~ a{xP-^ — \) — bx{xP-^- -+■ xP-^ -i-. . .-+-1)

— ex ( xP-^- -4- 1 xP-^ -h ... -h 2/^-2 ) — . . .

— kx^xP-""- -h (p — i)xP-^ -f-. . .+ (p —i)P-^],

Ordonnant par rapport à ^', et remarquant que les nombres a, 6, ..., A', coïncident, sauf l'ordre, avec un système de résidus, de sorte que leur somme

a -h b -h. . .-h k ^ o (modp), il viendra

%[x) = a — x [b -h iP-^c-h. ..+ (/? — \)P-^-k]

ce qui est un polynôme à coefficients entiers du degré p — 2, et dont voici la propriété caractéristique :

Formons la suite des puissances

62 (^), 63 (^), ..., 6/^-2 (^), et soit, en général,

je dis qu^on aura

Effectivement, a, 6, . . ., k représentant dans un ordre quelconque

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un système de résidus, on a

= i'^ H- 2.'^ -I-. . .-f- k^^ ^ o (mod p),

de sorte qu'en éliminant dans 9'^ (^) les puissances de x dont l'exposant est supérieur à /> — 1, à l'aide de la relation œ^~^ ^ i , le coefficient du terme indépendant auquel on sera ainsi amené devra

Et, réciproquement, tout polynôme à coefficients entiers, de

degré p — 2

qui remplira ces conditions, pourra servir à désigner une substitution, car en faisant, pour un instant,

la fonction (x — a) (x — b) . . .[x — k) coïncidera, en vertu des relations

avec

xP — X ou x{x — l)...(^ — /»-f-l),

et, par conséquent, a, Z?, ...,/: représenteront un système de ré^ sidus.

Ces premières remarques faites, nous allons les employer à l'étude des substitutions, en partant de ce fait évident de lui-même que, si 9(^) est une fonction quelconque, propre à représenter une substitution, la suivante :

en excluant la valeur a ^ o, aura, quels que soient ^ et y, la même propriété. Or, il est aisé de définir, dans un tel ensemble d'expressions, une forme réduite, unique, qui, une fois connue, donnera toutes les autres, et ce qui se présente le plus naturellement c'est de déterminer a de manière à rendre égal à l'unité, dans 2r(^), le coefficient de la puissance la plus élevée de la variable, [3 en faisant disparaître le coefficient de la puissance immédiatement inférieure, et Y enfin, de sorte qu'il n'y ait pas de terme indépendant. On

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pourra même chercher à réduire ultérieurement 3(^), en considérant l'expression a3(a^), où il restera encore un entier arbitraire, après qu'on aura rendu égal à l'unité le coefficient du terme du plus haut degré. La notion des formes réduites ainsi établie pour les fonctions 6(^)7 nous allons, en considérant les cas de /? = 5 et p r=: rj^ montrer comment elles se déterminent.

Premiet^ cas ; jo = 5.

Les formes réduites sont

'b{x)^x^ cc^, x'^ -h ax ;

la seconde est à exclure attendu que

et il ne reste à considérer que la dernière dont le carré est

x^ -H 2ax^ -^ a'^x^ ^ x^{i -+- a-) -\- 9.am Devant faire disparaître le terme indépendant, il faut poser

toutes les autres conditions se trouvant d'ailleurs remplies par

l'expression

il en résulte que la totalité des substitutions, pour un système de cinq lettres, s'obtiennent en employant pour indices

OÙ l'on n'excepte que la valeur a^ o. M. Betti avait donné déjà ce résultat dans le Tome II des Annales de Tortolinl et, récemment, M. Brioschi en a fait l'application la plus ingénieuse dans son beau travail sur la méthode de Kronecker pour la résolution de l'équation du cinquième degré [Actes de V Institut Lombard^ année i858).

Deuxième cas : p ^=z ^ .

On devra partir des expressions

2i"(^j^^, 57-, x'^-^ax^ x'* -^ ax"^ -\- bx^ x^ -\~ ax^ -^ bx"^ ■-\- ex ^

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dont la seconde et la troisième sont d'abord à rejeter, le terme indépendant existant nécessairement dans le cube de l'une et le carré

de l'autre. Soit donc

?i{x) ^ x'-* -^ ax^ -\- bx.

Le terme indépendant de 3^(^) donne immédiatement a ^ o. On trouve ensuite

d'où cette condition

et, par conséquent, ces deux formes

Sf(;2?) ^ ,r* -1- 3^7, x^ — 'ix.

La seconde se ramène à la première en recourant au dernier mode de réduction que nous avons indiqué en commençant. On trouve, en effet, en prenant ^ (^x) ^ x'' — 3^,

a^ ?2{ax) ^ x'^ — 3 a^x^

de sorte qu'il suffit pour y parvenir de poser a^ ^ — i , c'est-à-dire de prendre a non résidu de 7. Gela étant connu, on obtient, pour la série des puissances,

2r ( a?) ^ ^^ -4- 3^5 ^2(^) = 6^5 ^ 3^S '^•^{x~)~ x\ Sr^ i^x) ^ 3:r^ -H x^ ^S^i^x) ^ 3^^ -t- Ç)X-.

Ainsi toutes les autres conditions se trouvent remplies d'ellesmêmes.

Soit, en dernier lieu,

'^ {x) ^ x^'' ^ ax^ -1- bx'^ 4- cx.\

on aura, en égalant à zéro les termes indépendants dans le carré, le cube, et la quatrième puissance,

è(3 -4 6ac H- è^) = o, ab^ -h /i b~ c^ -^ 2 (1 a -+- c^) (i 4- sac -h b'^) ^ o.

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La seconde équation conduit à supposer d'abord 6 ^ o, ce qui réduit la dernière à

(2a -+■ c2) (i -t- 2ac) = 0.

Or, en y faisant

elle donne l'identité

on a donc cette expression

^{x) ^ x^ -+- ax^ -^ "^a"^ x^

où a reste indéterminé, mais que nous pouvons ramener aux cas de a ^ o, a ^ I et a ^ 3, d'après la relation

a!^(aa7) ^ x^ — aoi'* x'^ -h 3 «^^2^.

On vérifiera aisément que la cinquième puissance ne renferme pas d'ailleurs de terme indépendant. Supposons enfin que 6 ne soit pas ^o, les deux dernières équations donnent, en j faisant ce= 3a^,

d'où ces deux solutions

on en conclut ces nouvelles formes réduites

^(x) == ;r^ -H ax^ ± x"^ ■+■ "ia^x ( a non résidu quadratique de 7), que nous ramenons, en opérant comme tout à l'heure, à celles-ci :

'^ { x) ^ x^ -h 3 x^ dz X- — X.

En résumé, toutes les substitutions d'un système de sept lettres, au nombre de 5o4o, se trouvent représentées de cette manière.

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la fonction 9(^) prenant successivement ces formes

x^ dz 'ix'^

■ ax'^

(a quelconque),

oa'^ X

: x'^ -^ 3a-x (a non résidu de 7).

C'est le résultat que j'ai déjà indiqué dans une Lettre adressée à M. Brioschi, et publiée dans les Annales de M. Tortolini; je vais le compléter en présentant quelques remarques sur les diverses fonctions S(^), et me servant à cet effet des formes réduites précédemment obtenues, savoir :

x'^ -\- Z x'^ -ài x^- — X .

A l'égard des deux premières, je distingue en deux groupes les valeurs de x, suivant leur caractère quadratique par rapport au module 7; on trouvera ainsi

x^ -\- 3x ^ IX {x résidu quadratique de 7),

^4-^ (^ non résidu de 7),

x° -+- 2X'' ^^ DX^ {x résidu quadratique de 7),

^ X- (x non résidu de 7).

Pour la troisième, je distinguerai les indices en résidus cubiques, et non résidus par rapport à 7, et il viendra

x^ -h x'^ -^^ 0 X ^ — 'ÀX (x résidu cubique de 7), ^ -h IX (x non résidu cubique).

Pour les deux derniers enfin, on parviendra encore à des formes monômes, mais sous un point de vue bien didérent, car on trouvera

n X^-ir^X'^ — X^'àx^. X<i-i.

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et, par suite, en faisant s = di i ,

Ces i^emarques, qu'on vérifie facilement, autorisent jusqu'à un certain point peut-être à supposer que, dans l'étude des formes analytiques de substitution pour un nombre premier quelconque/) de lettres, les expressions que nous avons nommées réduites se ramènent elles-mêmes à d'autres beaucoup plus simples, en considérant les valeurs de l'indice comme résidus ou non résidus de puissances dont l'exposant diviserait yj — i, ou bien encore comme divisées en ces deux séries

/? -f- I /^ + 3 ce = ^— 1 j» • • • 7 p — i.

Soit, par exemple (*)? i-^i^e substitution réduite de la forme

il est clair qu'on aura simplement

â'(^) ^ 'lax^ {x résidu de p),

^^ibx^ {x non résidu de p):

c'est à cette catégorie qu'appartient, dans le cas de/?= 7, l'expression

^{x) ^ 57^ 'IX'^,

qui vérifie les relations

'^\a?J(x) H- 61 = lab'^^i X -\ ^ ) H (b^ ^ ib'^) (a résidu de 7),

(^) Avant cet exemple dans lequel 7; est un nombre premier quelconque, Hermite donne un autre exemple où /> = 3 (mod4); nous l'avons supprimé dans le texte, car le passage nous parait contenir des inexactitudes. E. P.

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288 OEUVRES DE CHARLKS HEHMITE.

Il en résulte qu'on a un système de i68 substitutions conjuguées représentées ainsi :

[' ) \ (^ résidu de 7);

f ■^ax-hb ) { ^a9j (,r-hb)'\-c )

d'où cette conséquence, indiquée pour la première fois par M. Kronecker, qu'une fonction de sept lettres, invariable par ce système de substitutions, ne peut avoir que trente valeurs distinctes.

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