SUR UN NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS

Comptes retidiis de V Académie des Sciences, t. LVIII, i864 (I),

p. 93 et 266.

Les fonctions uniformes de plusieurs variables à périodes simultanées par lesquelles MM. Weierstrass et Riemann ont résolu le problème de l'inversion des intégrales de différentielles algébriques quelconques sont représentées, comme l'on sait, par le quotient de deux séries telles que

^ Q~<:Q{x-\-fn, y-\-n, z-hp, ...)

OÙ o désigne une forme quadratique dont la partie réelle est définie

et positive, le signe 7 s'étendantà toutes les valeurs des nombres

entiers /??, /i, p^ ... de — go à -|- 00. L'élément fondamental de ces> nouvelles transcendantes, ainsi donné par l'expression

se présente dans toutes leurs relations analytiques, et acquiert par là une importance dont il est impossible de n'être pas frappé. La théorie des fonctions elliptiques, déjà assez avancée pour donner l'idée de ce qu'on doit attendre de ces transcendantes à plusieurs variables, justifie particulièrement, à l'égard de l'expression e~-^'% ce caractère d'élément essentiel dans l'expression de leurs propriétés, et qu'on ne peut, en quelque sorte, perdre de vue dans les recherches auxquelles elles conduisent. C'est ce qui m'a amené à

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cette remarque, que les exponentielles <?""''' et g^^^^^r^^^ •••^ donnent naissance, comme le radical

et l'expression

[i — 2a(^jK -+- cos9 y/i — x^- sj \ — JK^)H-a-] ^,

qui joue le principal rôle dans plusieurs des plus importantes questions de la Mécanique céleste, à un système de polynômes entiers, pouvant servir au développement des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Mais, tandis que les fonctions de Legendre et de Laplace conduisent à des développements où les variables sont renfermées dans les limites — i et + i , il sera nécessaire ici d'embrasser toute l'étendue des valeurs réelles de — cok-^-QO] on verra, du reste, entre les propriétés d'expressions d'origine si différente, l'analogie la plus complète. Je commencerai, afin de la mettre dans tout son jour, par le cas des fonctions d'une seule variable et des polynômes semblables à X/^ qui se tirent de l'exponentielle e"-^'.

Désignons par e~^''\}a la dérivée d'ordre n de e •^', de sorte qu'on ait successivement

Ul = — 2^,

U3 = — 8^7^ -i- ii'x,

et, en général,

nin — i){n — i)(n — 3 ) ( /i — 4 ) ( /i — 5 )

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OU, SOUS une autre forme,

(—if Un , fi(n~2) n(n~2)(n — ^)

— I nX^-\ -^^2^4 . .

quand n est pair, et

2/2(^ — !)...( ^L±ij

quand n est impair.

Gela posé, on démontrera aisément les propositions suivantes :

ï. Trois polynômes consécutifs Un^^i-, U/^, Vn^i sont liés par la relation

et, par suite, peuvent être considérés comme les réduites successives de la fraction continue

On a de plus

et l'on en conclut l'équation du second ordre

2. L'équation U/^ == o a toutes ses racines réelles; ces racines sont en valeur absolue comprises entre les limites —z^ et i / — ; •

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3. L'intégrale / e~''^''\],idx est nulle, quel que soit n, sauf

/i = o, et la suivante / e'~'''^'^\]n ^n' dx est nulle quand n est différent de /?/. Pour n = ii! ^ on a

/ e—^'' U 2 <^^ = 2 . 4 . 6 . . . 2 ^^ . /tt.