NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SERIE DES FONCTIONS
Ces divers résullats se retrouveront d'ailleurs à l'égard des fonctions plus générales qu'on tirerait des dérivées successives de l'expression g~^'^'', que j'ai reconnu indispensable d'employer dans certaines circonstances. Sans m'y arrêter en ce moment, j'arrive aux polynômes analogues à U/^, et qui renferment un nombre quelconque de variables (').
sm I 7Z H 1 9
(^ ) En posant x ~ 2coscp, les quantités V„ = 2cos«9, U„ = seront
sin - o 2 '
aussi des polynômes du degré n en x, tels que les intégrales
dx ^^ C^'^ ri TT i /'^—oc
V„ V,/ -r= et / U,, U,/ 4 / dx
seront nulles ou égales à 27r suivant que 11 est différent de n' ou lui est égal. Ces polynômes satisfont aux équations différentielles
^ dx^ dx "
dont la première est donnée dans V Algèbre supérieure de M. Serret. On peut également les considérer comme les dénominateurs des réduites successives des fractions continues suivantes :
\Jx' - 4
et
Je n'ai pas besoin enfin de rappeler les polynômes P/'^ de M. Lamé dont les propriétés ont été exposées avec tant de simplicité et d'élégance, par l'illustre géomètre, dans son Ouvrage sur les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes.
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Soit ci3(^, y, 5, . . .) une forme quadratique à jj. variables x^ jk, ^, . . . et dont la partie réelle soit défmie et positive : désignons par A(^,j^, ^, . . .) le contrevariant quadratique ou forme adjointe de Gauss, et par S l'invariant. Nous considérerons deux systèmes de polynômes rationnels et entiers en ^, y, s . . . qui seront définis de la manière suivante.
Développons en premier lieu, suivant les puissances des accroissements A, A), /io, ..., l'exponentielle
et en remplaçant, pour abréger, le produit I.2.3.../2 par (/2), posons l'égalité
/?"/if Af ...
les quantités \J ^ ^ k^ n'\ . . . rationnelles et entières en .^, JK, ^, ... et d'an degré égal à n -i- n^ -h n'^ ^ - . ., formeront le premier système. Le second s'en déduira par une substitution linéaire effectuée sur les accroissements A, Aj, Ao, . . .; en introduisant le polynôme A (A", A^, A2, . . .), nous ferons
/^ — -77- ; /^i — -77— ? A22 — -77- 7 ' • • jj
dk cl kl dk-i
et ils seront définis par le développement suivant les puissances de A, Ai, A2, ... de l'expression
/ d^h ri*]; fitL \
Nous les désignerons par \ n,7i',n",.,.^ en posant, comme tout à l'heure,
/ d^h d^ll dà \ im n' j n"
Voici maintenant comment s'obtient leur propriété caractéris-
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