NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS
tique. Soit, pour un instant,
^{x^y, 2, . . .)= cp(^ -f- A, ^ H- /zi, z -\- /i2, . . .)
/ œv au; a^ \ .
on aura, d'après les équations mêmes de définition,
Us ?i' .
hïi in' i.n"
Multiplions par dx dydz ... les deux membres, et intégrons ]x fois entre les limites — oc et + oo; l'expression
/ / • . . e-^'(^^ J' -^ -^ ^/^ dy dz . . .
nous conduira au résultat par une transformation bien simple. Posons, en effet,
X~^ fl ^^^^ ,
les limites des variables Ç, Tj, Ç, ... seront toujours — co et + oc, et Ton vérifiera sans peine que
L'intégrale cherchée est ainsi ramenée à celle-ci :
r' r'° . . . e-9(?.-^,!:,...) dl dr, dl . • • = l/Ç-
Mais de plus, et d'après la nature du polynôme adjoint
on a l'identité
dxD d^ d^ di) d^ d^ , r. 1 1 1 1 1 , x
dli dk dhi dki dh^ dk2
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de sorte que nous parvenons à la relation fondamentale
i/'^ghUhk+h,k^+h,k,+:..)— j i ■ ■ ■ dx dy dz . . . e~M^>y'^- -^
y A"fef/<... ^,.y /c"/cr^f...
Il en résulte immédiatement cette conséquence que l'intégrale
/ / • • • e-?(^.r, z, ...) u,,, ^., ,,., ... y,„, ,,,., ,,,., ... ^^ dy dz . . ,
s'évanouit, si aucune des différences /z — m, /z^ — /n', ii!' — m'^, ... n'est nulle, tandis qu'en supposant n = m, 72/= /n^, n'^=: m'\ . . ., on a
/ / • • • e-?(^^' J' ^^ •••) U;^, ,,', n\ ..y?i, n', n", ... dx dy dz . . .
Cette proposition peut servir de base, comme on voit, à l'étude du développement d'une fonction F(^, y^ ^, . . .) sous cette double forme
'^ \^i y -> ■^1 • • • ) ^^ / 1 -^fi, ^\ n" , ... tJ ^^, /^', n'\ ... = ^ ^ ^n, n\ n" ., .., ^ n., îi' , n'\ ... j
les coefficients étant ainsi déterminés :
^"•«'■""••■■-(„)(„'K«")..Vi-X„ X.
X V;i,,,',„v,...F(^, 7, z, ,,.)dxdydz,,.,
X l^;2,n',n\... F(^, jK, 3, .. .) «:/;27 <^J^(i3
Mais la recherche des propriétés des polynômes U et V doit naturellement précéder cette question; dans une autre occasion, j'essayerai d'y revenir.
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Je vais donner quelques nouvelles remarques sur les polynômes tirés des exponentielles e""'^', (?-?(^7 j^^, •••) et qui peuvent être employés, comme je Fai fait précédemment (^Comptes rendus^ t. LVITI, séance du 1 1 janvier), au développement en série des fonctions d'une ou de plusieurs variables. J'indiquerai, en premier lieu, une modification légère à apporter à leur définition, et dont l'effet, comme on le reconnaîtra, est de simplifier leurs expressions algébriques. Ainsi les équations
et
que j'avais d'abord données, seront remplacées par celles-ci :
^{n){ji ){n')...
__ -\o[x,y,z,...)^ k^'k'jk't ... ^j
En particulier, pour le cas d'une seule variable, je poserai
et l'on aura de la sorte
ce qui montre déjà la simplification dont je parle. Ordonnant par
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rapport aux puissances ascendantes, on obtiendra pour n pair
et pour n impair
{n — i)ax'^ {n — \){n — 3)<7-a7^ {n— i){n — 3)(n — S)a'^x'^
A ces formules j'ajouterai encore les relations
U n-\-\ — OX U ;, -H rm U ,i 1 = O, CtX " CIX
I e ^ \jn^7i'dx = o i^n^n!)^ / e '- Uldx = 1.2.3.. .71. a^'i/'^' Maintenant j'arrive aux polynômes à plusieurs variables.
Soit, en considérant pour plus de simplicité le cas de deux variables seulement,
cp ( 37, JK ) = ax^-i- 'ib xy -+- cy'^ ; nos polynômes seront définis par l'équation
OU bien
'i,iH) ^
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On trouvera ainsi, en faisant, pour abréger,
ax-\-by — ^c^^ bx -^ cy — ri, les valeurs
Uo,o=i, U3,o= ^^ — 3a^,
Ui,o= ^, U2,i = ^-Y] — ibl — a-q,
Uo,i= r^, Ui,2= ^Tj^ — ^b^ri—c^q,
U2,o=^^ — ^, Uo,3= ''l-^ — 3 cr^,
Uo,2= ri^^ — c,
Généralement, soit
c'est-à-dire l'expression même de U/^, quand on j aura mis - au lieu de .r ; on aura
l^m,n= Fm(^, a)F,,{r^,c)— mnb F,;,i ( ^, a) F;,i (t), c) ?nn{m — i){n ~ i) .
b^¥,,-,{la)¥r^-M.c)
A l'égard des polynômes \jn,n-) l'équation de définition donnera
d'où l'on voit que leur expression coïncidera avec la précédente en mettant x et y au lieu de Ç et '/], et en remplaçant a^ b^ c par les
coefficients de la forme adjointe ^? ~y" ' ~ divisés par le déterminant S =: ac — Z?2. Gela posé, on obtiendra aisément les relations
et celles-ci
cl\ aï]
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d^où se tirent les deux équations linéaires du second ordre aux différences partielles
ar]^ at, ctt\ ai]
Je joindrai aussi à la relation fondamentale
/ e ' l^m,7iyp,qda^df = o,
les suivantes
- - cp ( a', j )
^ tJ /;ij/; V ^;^(^ ^^ = O,
SOUS la condition m'^p^ et
en supposant n ^ q. On en déduit aisément
r^°^ --cp(.r, j) />-+-^ icp(.r,j)
S(^) et3(y) étant les polynômes entiers en ^ et y des degrés m — i et 72 — I, à coefficients arbitraires. Voici la conséquence qu'on en déduit.
Je dis que l'équation \]m,/i=^o^ considérée par rapport à ^, admet au moins m racines réelles, quel que soit y, et envisagée par rapport à j/, n racines réelles quel que soit a:. Employant en effet la belle méthode donnée par Legendre dans les Exercices de Calcul intégral pour les fonctions X,^, je supposerai i racines réelles,
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i étant moindre que m] et en faisant pour un instant
\^m,n^fioc)¥{x)^
je prendrai 8(^)r=/(^), ce qui donne l'égalité
On en conclut que le polynôme F(^) change de signe au moins une fois entre — co et -^ ao^ sans quoi l'intégrale ayant tous ses éléments positifs ne pourrait s'évanouir, de sorte qu'on peut ajouter une nouvelle racine réelle aux précédentes, et poursuivre ainsi jusqu'à ce qu'on soit amené à la limite du degré de 8(^). Cela donne par conséquent m racines réelles pour x^ et en opérant sur y on trouverait de même le résultat annoncé. Mais on peut aller plus loin et établir que l'équation \jjn,u^=^ O5 considérée par rapport à x oujK, a toujours toutes ses racines réelles.
Remontant à cet effet à la défmition même de nos fonctions, savoir
je remarque qu'on a pour m = o
Uo,. = (-.)" ^^„ ,
de sorte qu'on peut écrire
Or on a, d'après l'expression générale précédemment donnée,
et, en vertu de la liaison remarquée entre F,/ et les fonctions U,/ à une seule variable, nous sommes déjà assurés que l'équation U^ ,^r=r o admet n racines réelles par rapport à V] = bx -\- cy^ et par conséquent par rapport à x quel que soit /. Le facteur exponentiel étant toujours positif, on en conclut que la dérivée H. — II. 20
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^-^ a 71 — I racines dans l'intervalle des précédentes.
Mais, en raison de ce même facteur exponentiel, l'expression
cp ( jf, 7 )
e ^ Uo,/2 s'annule pour x =^ — ce et ^r=r-f-oo, d'où résulte
nécessairement, dans la dérivée, deux nouvelles racines, l'une entre — ce et la plus petite racine de l'équation Uo,/2= o, l'autre entre la plus grande et + oo. Il est prouvé par là que la nouvelle équation U^,^-=:o admet n H- i racines; et, en continuant de proche en proche le même raisonnement, on établira l'existence de m -h n racines réelles pour l'équation \]jj^^,^-= o, dont le degré est m -^ n par rapport à ^. La même chose aura lieu évidemment à l'égard de j^, et notre proposition se trouve ainsi démontrée.
Je terminerai par une remarque sur la valeur limite, lorsqu'on suppose n très grand, des termes du développement d'une fonction F(^) par la formule
où le coefficient A// est, comme on l'a dit précédemment, déterminé par la relation
A„=- ' -i/— r e~~\],¥{x)dx,
et qui pourra servir à la recherche des conditions de convergence de ce développement. Suivant à cet effet la méthode donnée par Laplace dans la Co7inaissa7ice des Te7nps, année 1B27, et appliquée par ce grand géomètre aux fonctions X,/ de Legendre, je représenterai l'intégrale de l'équation
-— ax —^ h a/iU,^ = o
par
U,i = /? sin(^ \J a7%)^ q cos(^ s/a7i).
En substituant et égalant séparément à zéro les coefficients de
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ÛYL{x\/an) et q,o?>[x\J an)^ on aura
dp \ ( (P q dq
axp — '2 -r- = -1= -^-4- — ax -f^
dx ./77^ \ dx^ dx
dq I / d'^-p dp \
"^ dx ^ s/an \ ^^^ ' dx )
et par suite, en négligeant les termes divisés par y^n,
dp dq
axp — 2 -r- =0, a^âr — 2 -—' = o,
^ dx ^ dx
d'où
ax^
p =z ae ^ , q — ^e ^ .
Les constantes a et [i se déterminent d'après la condition que \},i soit une fonction paire ou impaire de x^ suivant que n est lui-même pair ou impair, et en comparant au premier terme des développements
On obtient ainsi pour n pair l'expression limite
A;îU;j=:i/ ê--^ * cos(a7v/a^)x - / e ^ F (x) cos{x \/âji) dx, et pour ;^ impair
A„U,i— i/--e^ sin(a7v/a/2)x ~ / e ^ F{x) sin(x</ân) dx.
En mettant dans les intégrales -— = au lieu de x^ on peut dire
Y an
encore que les termes du développement \ A/^U,^ tendent de plus en plus à se confondre avec ceux de la série
* ^^ - [a fi cos {x \/ an) -^ bnsm{x \/ an)],
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OÙ Fon suppose
a^— — e ^^ F f ) cosx dx,
^ sin^ dx.
Ces expressions en série au moyen du polynôme U/^, d'après une observation importante faite par M. Bienaymé à l'occasion d'an Mémoire de M. Tchébichef [^Si^r les fractions continues {Journal de M. Liou^ille, année i858)], appartiennent à cette catégorie très étendue de développements qui donnent des formules d'interpolation par la méthode des moindres carrés. Je remarquerai enfin que la quantité U^ s'offre dans la théorie de la chaleur et a été déjà considérée par M. Sturm dans son beau Mémoire sur une classe cr équations aux différences partielles (^). Si l'on désigne par u la température d'une barre non homogène, de petite épaisseur, placée dans un milieu d'une température constante, on a, comme on sait, l'équation
du \ dx I j
* dt dx
Considérant le cas où, pour x=^^ ^=t, la fonction u s'annule avec ses n — i premières dérivées par rapport à ^, M. Sturm donne l'expression suivante
/ kt \ « u^-hx, T^)== A — (?-+-£),
où le polynôme P, en faisant
a pour valeur
Ikt
j^2fi ^2/1-2
{in) (in — 2) ' I .
i.i.3{in — 6)
Or, on a ainsi précisément la fonction;-—^ : Uo/z, en supposant
la constante a ésale à -•
(^) Voir Journal de Liouville, t. I, p. 378.
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