EXTRAIT

LETTRE ' DE M. HERMITE À M. BORCHiRDT

Journal de C relie, t. 64, i865, p. 294.

(( Partant dé ce résultat si beau de Jacobi, savoir

j'ai considéré des polynômes à deux variables

dti {x^ -\- yi — lyi dx^ dy^

sous la condition a -i- [3 = n, ou plus généralement

d'^ iax'^-^ 'i.bxy -^ cy^ — r 'ydx^ dy^

en imitant exactement comme vous voyez le mode de généralisation pour passer des séries elliptiques \ ^'"^'+'"'^ aux séries abéliennes

Je songeais en même temps à la modification correspondante à

(^) Une exposition plus détaillée du sujet traité dans cette lettre se trouve dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris, année i865, séances du 20 et 27 février, du 6 et i3 mars. Voir aussi Hermite, Œuvres, t. II, p. 819.

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3lO ŒUVRES DE CHARLES H ERMITE.

apporter au radical y/i — 2aœ -\- a'^^ et c'est aux expressions suivantes

\/i — "lax — 9.by -\- a^ -^- è^,

OLl

\/i — la.T — iby -^ ka'^-^ iBab -^- Cb'^^

que je me suis arrêté tout d'abord. La grande importance du développement de la fraction appelait également mon

attention sur l'expression -, t^' et c'est ici que

^ I — laa^ — iby -^- a- -^- o^ ^

j'ai un premier résultat à vous indiquer.

» Soit en effet

. 1 =ya^b^Va3,

Ua,p sera un polynôme entier en x et y du degré a -|- (3, et l'on

aura

Ua,p Uy^g dx dy = o,

l'intégrale étant prise entre les limites définies par la condition

SOUS la condition que la différence a+j3 — y — S ne soit pas nulle. Mais, en intégrant le produit de deux polynômes différents, on n'obtient plus zéro, s'ils sont du même degré. Pour rétablir l'analogie avec les fonctions d'une variable ayant pour origine le développement de r et Cïui semble ici se perdre, i'ai pensé

à déduire des polynômes Ua,[^ d'un même degré, d'autres en même nombre qui en dépendent linéairement, auxquels je donne la dénomination Va^p, de manière à avoir

/ / CJa,pVy,g«^^4x = o,

toutes les fois que les deux indices a et [â, y et S ne seront pas simultanément égaux. Ce sont précisément ces polynômes qui m'ont donné la généralisation des fonctions de Legendre que je recherchais, mais il est nécessaire pour cela de sortir de l'expression I — 2ax — 2by -\- a^ -\- h' qui a servi de point de départ.

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EXTRAIT d'une LETTRE A M. BORCHARDT. 3ll

» Considérant la forme ternaire en a, 6, c

c"^ -^ 'lacx -^ 'ihcy -h a'^H- h~^

j'observe qu'elle a pour forme adjointe

or en y faisant pour simplifier c = i , c'est le radical

si {\ — ax — hyf — {a^ -Y- h''~){x'^-\- y"^ — \),

dont le développement donne naissance aux polynômes Vcc,p, et, si l'on fait

\J U — ax — h yy — {a'^ -\- b"^ ) [ x'^ -^- j^ — i) = ^aaèl^Va,^,

on aura ce nouveau résultat :

» Soit

les polynômes Va,p seront exprimés de cette manière :

Va,|

i .2.3. . ./^.'2'' dx^ dy^

et l'on obtient l'analogie aussi complète que possible avec les fonctions de Legendre. Opérant donc comme le fait Jacobi [Journal de Crelle^ t. 2), au moyen d'intégrations par parties successives,, je trouve quelle que soit la fonction F(^, y)

ff'^^'

dx"- dy^

entre les limites J'en conclus que

si les degrés a 4- p et y + o ne sont pas les mêmes, comme cela devait être en effet d'après la dépendance des polynômes Va,^ etUa,p.

)) La propriété caractéristique des fonctions V^^p consiste en ce

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que l'équation

si l'on fait abstraction du facteur x ou y, suivant que a ou ^ est impair, représente une courbe fermée, la distance d'un quelconque de ses points à l'origine étant moindre que l'unité, de sorte qu'elle est comprise dans l'intérieur du cercle

D'après l'égalité fondamentale

Ua,p Vy,S clx dy — o,

tant qu'on n'a pas à la fois a = y et [i = S, on voit que, dans l'intérieur de ce cercle ^2| ^-2-. ^^ toute fonction F(^, y) pourra être développée de ces deux manières

qu'il semble impossible de ne pas considérer en même temps. J'ai déjà trouvé un fait semblable d'un double mode de développement en m'occupant des polynômes tirés des dérivées de la fonction ^ax^-^^bxy+cy^ (^CoTTiptes reiidus , 1864) (^).

)) Les intégrales suivantes qu'on obtient facilement,

dx dy

(i — 2ax — '-^by -f- a^ -4- ^^) (i — ia' ce — '-^-b' y H- a'^-^ b"^)

Tc ab' — ba'

ab — ba i — aa — 00

dx dy

{\ — "la' X — ib' y 4- a'2-u 6'2) [(i — a x — b yY ~ (a^- -^ b'^) {x'^ -^ y'^ — \)Y-

; T-T' lo^(i — <^<^' — bb' ),

aa'-^bb "^^

suffisent pour établir les points essentiels de la théorie des fonctions U et V; je donnerai plus tard dans les Comptes rendus quelques autres détails. »

Paris, 27 janvier i865.

(^) Voir aussi Hermite, Œuvres, t. Il, p. 298.

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