SUR DEUX INTÉGRALES DOURLES

Annales scientifiques de V Ecole Normale supérieure, i''^ série, t. Il, i865, p. 49-

Une question relative à un certain mode de développement en série des fonctions de plusieurs variables repose sur la détermination de l'intégrale multiple

dx dy , . .du

où les quantités P et P^ ont pour expression

P = I — lax — o.hy — . . . — 2^^^ -h <^2 -I- ^2 -h. . .-H /2, V —i~ ia' X— ib'y — . . .— -^J' u +- a'^-\- b' ^- -\- . . . -+■ l""-,

et l'intégration devant être étendue à toutes les valeurs des variables x, y^ . . ., «/, qui satisfont à la condition

En posant

Q ^{x — ax~by~...— luy- — {a'^-\- b'^-^-...^ l^){x^-^ y^- -{-... -\- u'^ — i),

la même question exige aussi la détermination de Fintégrale

' dx dy . . . du

-ji-r-

PVQ

entre les mêmes limites que la précédente. Me bornant au cas de deux variables seulement, et en employant les méthodes élémentaires, je vais développer le calcul par lequel on obtient leurs valeurs.

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3l4 OEUVRES dp: CHARLES HE RM ITE.

Soit, pour abréger,

j'introduirai comme auxiliaire un angle 9 défini par les égalités

aa' -\- bb' . ba' — ab' . „

} = cosO, ; — sinU,

7V' rr

et je ferai un premier changement de variable, savoir

a^ -^ bi] b^ — an] X ^, y= — ,

par lequel Fintégrale A prendra cette forme plus simple J J (i-2/i + 7-^)[r.

■ ir {^ cos 6 -)- r^ sin 6 ) -^ r'2 ]

Les limites d'ailleurs seront déterminées comme précédemment par la condition

de sorte que l'intégration par rapport à y^ devra s'effectuer depuis T| = — y/i — Ç2 jusqu'à Tj= + y/i — ^-. On trouve ainsi pour résultat

I I , i — 'ij^'ii cos 6 — i/i — $2 sinO)-!- r"^

i.2r^-+-r2 '2/sin6 ^ ^ ^/''(^ cosO -H /i - ^2 sinO) + r'2

et c'est cette expression qu'il reste à intégrer de i= — i à ^=+1.

En posant

^ = coscp,

on obtiendra pour k. la valeur suivante

. i r 1 sincp ^ I — 2r' cos(cp -}- 6)-i- /''2

A= l—r—R I do i -l02f ; ^^^^ 7-^ r-y

2r SinG ^^ 'I 2 7' coscp + 7-2 ^ I — 27^ cos(cp — 6)-+- /- 2

ou plutôt, en multipliant et divisant par /•,

A^ ' f"" d; '^"'"' ^ r-27--cos(cp + 9)H-r-2

'2(ba' — ab')J^ ' i — 27' coscp -h 7-2 ^1 — 2r'cos(cp — 6)-i-7^'2

Cette intégrale définie se trouve aisément, comme on va voir.

SUR DEUX INTÉGRALES DOUBLES. 3l5

Je supposerai expressément que /' et r' sont tous deux moindres que l'unité, de manière à pouvoir faire usage de ces développements :

7' sincp

[ — ir cosu) -+-

— = 7^ sin cp -4- 7^'-^ sin 2 CD -H r'^ sin 3 cp ■

-\og[i — ir' cos((p -I- 6)-+- 7-^2] = r' cos(cp -H 0)h cos2(cp H- 6)-i- — - cos3(cp -h 6)-i-. . .

log[i — ir' cos((p — 6)-+- r'-]

= r' cos(cp — 6)4- — cos2(cp — ô)-h -^ cos3(cp-- 6)-i-

On conclut des deux derniers

I I — 2r' cos(cp -+- 6)-h 7^'2

1 °^ I — 2 7''C0S(cp — 6)-4- 7''2

— r' sincp sin 6 H sin 29 sin 2 6 -\ — — sin 3 9 sin3 0 -h. . .,

de sorte que l'on est amené à intégrer entre zéro et tî le produit de deux séries

X ( r' sin cp sin G M sin 29 sin 2 6 H — -- sin 3 cp sin 3 6 -h . .

( 7" sin ^4- r2 sin 2 cû -h r^ sin 3 cp -H . . . )

— sin 2 CD sin 20 H 2 ' 3

Or, en vertu des relations,

Jf <icp sin7?icp sin Ticp — o,

d(p sin2 7?icp = —5

on obtient ainsi, pour la valeur de A, ce développement

A — 7 — ; 77 f rr' sin G H- sin 2 6 H — sin 3 G -i- .

oa — ab \ 2 0

et, d'après les formules connues, on en conclut immédiatement

TT 1,1 — rr' e-^ ^^ A = -7 — : r7 — : log-

ba'—ab' .^ /— i i — zv^'e^v^-i

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3l6 ŒUVRES DE CHARLES HER MITE.

Observant enfin que l'on peut écrire successivement

I— rr'e-Q^-ï , 1 — rr' ( cos G — y/— i sin 0 )

log :=7- = log '

I — rr' e^ ^^^ i — rr' ( cos 6 -f- / — i sin 6 )

rr' sin 6 /