IH -, H V — I

, I — rr cosu

= loff —

/v smb y

I — rr' cos 6 è<7/ — ah'

[ — aa' — hh'

loR —

^a' — ah' I '

i — aa! — hh'

on arrive définitivement à ce résultat très simple

. TT ha! — ah'

^= TZ' TT^arctang-

ha' — ah' ^i — aa' — hh'

Je considère en second lieu l'intégrale B, savoir

dcr cl y

{\ — 9. a' X — ih' y -^ a'^ -+- h"'-)[{\— ax — hyy-— {a'^ -^ Z?2)(^2 j^2 x)]2

elle devient d'abord, par la substitution linéaire,

a'i — h' 'r\ h'i-\- a' Ti

-ff

{\ — ir'^-^r'^)[{\— rcos6^ — rsine-r^p— (^2^ ^2 i)^2]2

ce qui conduit à intégrer, en premier lieu, par rapport à la variable 7]. Il convient, à cet efi'et, d'employer des logarithmes imaginaires, en se servant de la formule

dx 1 , /Arî7-|-B , \

et en remarquant que les valeurs limites de yi donnent ^^ + v^^r^i , la racine carrée placée sous le signe logarithmique pourra s'extraire et deviendra, simplement

1 — r cos 6^ — r sin Gï] .

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SUR DEUX INTÉGRALES DOUBLES. 3l7

Quelques réductions faciles à voir donneront pour résultat de cette intégration, par rapport à 7] , entre les limites 'r\ =: — ^i — ^2,

7) = + y/ï — ^2, la quantité

I I I — r cos e (^ — v/~/t — ^^ )

et il s'agit de l'intégrer par rapport à ^ entre les limites ^ = — 1 , Je ferai comme précédemment

^ r= COSCp,

ce qui donnera, après avoir multiplié et divisé par r'^ l'intégrale définie

rr coso J ^ i — 2/'

-cpv— 1

sinc5 I , I — r cosbe

'- 7- , lOS^ 7

et, en admettant toujours la supposition déjà faite de r et r' moindres que l'unité, je ferai usage des développements

7^' sin cp . 1 — = r' sin 9 -h r^'^ sin2cp -h r"^ sinScp -h. . .,

I — 'ir coscp -H r 2 * *