I . 1 — rcos6e-?^^ log
2 V — I I — '' cos^
= 7' cos 6 siii cp H sm 2 cp H sm i cp -+-... .
Maintenant, si l'on intègre entre les limites zéro et iz le produit des seconds membres, on trouvera immédiatement
COSO -H ^ '- -I- ^ :^ h. . . ,
TC
rr^
•7^' ces
c'est-
-à-dire
rr
TC
' cos6
log
I — r;-' cos6 ao!-^hh'
C'est le résultat que je me proposais d'établir; je me borne en ce moment à remarquer que les constantes a, h, o! ^ b' n'y entrent que par les produits aa' et hb' ^ de sorte que l'intégrale ne change
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3l8 (OUVRES DE (; HA H LES H ERMITE.
pas en y remplaçant a et a! par - ? a! t^ et b et V par — ? ^^i^. Relativement à A, il est possible seulement de changer a et 6, d'une part, en at^ ht\ a' et b' ^ de l'autre, en — ? — ; ce sont ces propriétés
qui servent de point de départ à l'extension aux fonctions de plusieurs variables de la théorie des fonctions X,^ de Legendre.
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SUR
Comptes rendue de V Académie des Sciences, t. LX, i865 (I), p. 370, 432. 4^1 6t 5 12.
Les recherches que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie sur les dérivées des divers ordres de l'expression
OÙ cû(^, y, z^ . . .) représente une forme quadratique définie et positive, et dont se tire un mode de développement en série de fonctions de plusieurs variables (^), m'ont amené à faire une étude attentive des fonctions X,^ de Legendre, comme offrant l'exemple le plus important et le type des propriétés que j'ai remarquées dans les polynômes \] n,n\n\... définis par l'équation
J'ai été ainsi conduit à une généralisation sous un nouveau point de vue de ces fonctions X/^, je veux dire à un système de polynômes d'un nombre quelconque de variables ayant une même origine que ceux de Legendre, ce qui n'avait pas lieu pour les quantités \in,n',n",...) ^t à l'égard desquels on retrouvera la plupart des
(^) Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LVIII, séances du n janvier et du 8 février. Voir aussi Hermite, OEuvres, t. II, p. 298.
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320 OEUVRES DE CHAULES H E K M I ï E .
propositions de l'illustre géomètre, et même l'analogue du beau théorème de Jacobi, savoir :
Ce système de polynômes, et un autre qui s'y joint immédiatement, conduisent à des développements de fonctions de plusieurs variables, ^, y, ^, . . ., dans l'étendue limitée par la condition
OU plus généralement
le premier membre de l'inégalité étant une forme quadratique définie et positive. La méthode si féconde et si connue depuis Fourier, consistant à déterminer les coefficients par l'intégration après avoir multiplié la fonction par un facteur convenable, s'applique encore dans ces nouvelles circonstances, mais avec une modification qui semble caractéristique pour les fonctions de plusieurs variables. L'intérêt de ces nouveaux développements, d'ailleurs, consiste surtout en ce que les variables y sont traitées simultanément, de sorte qu'ils ne résultent pas, comme le plus souvent, de l'application répétée du même procédé sur chacune des quantités ^, y, ^, ..., successivement considérée comme variable unique. Enfin on peut présumer que ces polynômes donneront la solution de questions de minimum ou d'interpolation du genre de celles qu'a traitées M. Tchébichef, et cette étude a été amenée, je dois le dire, par diverses questions que m'a posées plusieurs fois sur ce sujet notre savant confrère.
L'expression
I — 'lax -h a^.
qui donne naissance aux fonctions de Legendre et aux formules trigonomé triques pour la multiplication des arcs, d'après ces rela-
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SÉRIE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 3^f
lions,
(i — 2acc -\- a^) ^ = ^<^'^X;i,
.s , V^ sinr(/2 H- T)arc cos^l
se prête au mode de gënéralisalioii découvert par Gôpel et M. Rosenhain pour passer des séries elliptiques de Jacobi aux fonctions abéliennes d'un nombre quelconque de variables. En comparant en effet ces deux expressions
^ ^ Qii^klmx+lny-^gm'^-^^hmn+g'n''')
on est amené naturellement à Fétendre de cette manière
I — "lax — 2 h y H- ga^ -f- 2 hah -^ g' b'^^
OU bien, avec n variables, x^ y^ z^ . . .^ u
I — lax — nby — . . . — -ikii -{- o{a, b, c^ . . . , /c),
'^{a^ bj c^ . . .^ k) étant un polynôme homogène et du second degré en a, 6, ..., k. Mettant, avec une indéterminée de plus, sous forme homogène,
l- — lalx — ibly -^ , . . — "iklu -f-cp(a, 6, ... k)^
nous considérerons également sa forme adjointe ou contrevariant quadratique qu'on obtient aisément comme il suit. Soient
la forme adjointe de o, A son invariant, en faisant, pour abréger,
on trouvera pour résultat
Tels sont les éléments algébriques qui serviront de point de départ
à nos recherches; nous nous bornerons toutefois à deux variables
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et au cas le plus simple où l'on suppose
cp(a, 6)= a^H- b^,
ce qui conduit aux quantités
I — 'lax — *2 by -1- «2 -f- 6^ ,
= I — lax — iby -h a^(i — jK^)h- labxy -i- ^^(i — a?^).
Gela posé, les fonctions dont nous allons étudier les développements sont les suivantes que nous réunissons en deux groupes,
savoir :
{i — ^ax — ^hy-^a'^-^ b^)~'^,
i [i — lax — 2Z)jK + a2(i — j>/2)-4- 'labxy ^ b^{i — x^)] -,
et en second lieu
( I — Q-ax — -iby -h a2 -H b^)" ^ ^
(i — x^ — y^y[^ — lax — 'iby ~+- a^(i — ■ y'^)-^ 2abxy +6^(1 — x^)]~K
Leur analogie avec les fonctions d'une variable, qu'elles comprennent comme cas particulier en supposant b = o et jr = o, se rapporte donc à la fois aux jDolynomes de Legendre, et aux formules pour la multiplication des arcs dans la théorie des fonctions circulaires.
Soit en premier lieu
(i —'j.ax~2by-{-a^~{- 62)-i— 'V a''^6'^V/„,7i.
On reconnaîtra immédiatement que Vyn^n est un polynôme entier en X ety^ du degré m + /2, mais ayant x^''^y'^ pour seul et unique terme de ce degré. On aura par exemple
Vo,o-i,
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et
Yi,2= 5.4 ^72— 4^7,
Vi,3== 64 ^7^— 24^77,
Vo,4^ (6/^— T2 X5-+-I,
Réciproquement on pourra exprimer ^'^^jk'^ en fonction linéaire de Ym n et des polynômes du degré moindre, de sorte que la formule
représentera, en déterminant convenablement les constantes, tout polynôme entier en x et y. Voici maintenant leur propriété fondamentale.
Considérons l'intégrale double
les variables étant limitées par la condition
Un calcul, pour lequel je renvoie aux Annales de r École Normale supérieure (année i865) (^), conduit à la valeur
71 ab' — ba!
A = — —. -, — : arc tan^- -, yt, '
au — oa 1 — aa — 00
On voit que cette expression ne change pas en y remplaçant a et b
a' b' par at et bt^ a' et b^ par — ? —y de sorte que t doit disparaître dans
l'intégrale
I I dx dy\a"^b'H''^'^'^Y,n,n^ci'^^b''U-V'-'^Y^^^y.
(') Voir aussi Hermite, Œuvres^ t. II, p. 3i3.
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Cela exige que l'on ait
/ j dxdyyrn,7i^]x,v=o, entre les limites
lorsque les degrés m + ai et [ji -f- v sont différents. Cette proposition met sur la voie d'an développement tel que ^ A^^^/^Vt^z,^ pour
toute fonction F(^, y), les variables étant assujetties à la condition ^2 j j/2<j^ Elle ne suffît pas toutefois pour la détermination des coefficients, et c'est en ce moment qu'il est nécessaire de considérer la seconde fonction dont nous avons parlé, à savoir
Désignons par l]m,n les polynômes entiers en x et y, du degré m + 72, ayant pour origine le développement
[i — '2ax — 2by^a^i-y^)-hiabxy-]-bHi — x'^)]'^ = ^a^^b^^\],n,n-, et dont voici les premiers
Uo,l =7, Ul,2= -(3^j2,^3.^)^
U2,o- ^(3^2+ -^2 i), Uo,3- ^(57^+3^2^-3^),
Ui,i = ixy,
Uo,2= -(37^+^2-1).
L'intégrale double, prise comme précédemment entre les limites
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^2|y2<j ^ savoir
B = C Ç dx dy{i— ia' X — ib' y -\- a'^--^ b'^)-^
x[] ~ 2ax — 2by ^ a^(T — y^)-\- lab xy -+- b^-(i ~ x-)] % va nous donner leur propriété fondamentale. On trouve en effet
B = ' " I ir^^S ; TTT'
aa -^ bb ^ i — aa — bb
valeur qui ne change pas en y remplaçant a, h^ ci! ^ b' ^ par at^ bii^ — ; — • Il en résulte qu'on a généralement
/ / dx dyyjn,?iVï^.,v=o,
si les indices m et [jl, ji et v ne sont pas égaux en même temps; et dans l'hypothèse contraire, on obtient
/ / dxdyy„i,ii^ni,n =
Jl ^i .n -^ 1. . .n -h m
Nous pouvons donc déterminer maintenant par la méthode ordinaire les coefficients du développement considéré plus haut, savoir
on trouve ainsi
/ / dxdy¥{x, y)\]ni,n= A
ni^n%
l'intégrale étant prise entre les limites x"^ -\- y'^^i] et c'est dans l'obligation d'introduire le facteur \im,n différent de Vw,/^, que consiste d'une manière générale, nous pensons, à l'égard des fonctions de plusieurs variables, la modification caractéristique dont nous avons parlé en commençant. On pourrait également poser
mais c'est au premier développement que nous nous attachons de préférence, la nature du polynôme ^m,n permettant de reconnaître immédiatement que la valeur de h.m^n tend vers zéro quand m et n
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augmentent. Cela résulte effectivement, comme nous le verrons^ de l'expression suivante
'"'" ~~ i .1. . .m.i.i. . .II. 'yn^-^i^ dx"' dy' '
que nous allons établir.
La série donnée par Lagrange pour la résolution de l'équation
c'est-à-dire
a- df~(x)(j^'(x) a'-' d- /'•^ ( x) o {x)
