PREMIÈRE PARTIE
Sur les invariants et covariants biquadratiques.
Je ferai usage, dans ces, recherches de la notation qu'emploie M. Gajley pour représenter d'une manière abrégée les formes à deux indéterminées. Elle consiste à poser
, , m m — I „ „ mm — i , „ ax>^^ -\- ?nbxf^-^ y H cx"^-^- y^- -\-. . .-^ — ■ c x^ ym-t
-h îiib' xy'*^-^ -{- a' y"^ = (a, 6, c, .... c', b\ a ){x,y)^'',
et son principal avantage est d'indiquer commodément les opérations relatives aux substitutions linéaires. Par exemple, si la transformée
AX'«-f-mBX'«-iY-+- -1^1 GX/«-2Y2-i-...
+ ^^ ^^ ~ ^ G'X2 Y'«-2 -h mB'XY'^^-i-H A'Y'«
a été obtenue en faisant
^=:aX-{-pY, jr = T^+^Y, on écrira
(a,è,c,...,^>',c',a'XaX-f-3Y, YX + aY)'« = (A,B,G,...,G', B', A'XX,Y)''^
Gela posé, soit
f ={a, b,c, b\ a){x,yY
l'expression générale d'une forme biquadra tique, les deux fonctions
i = aa' — 4 bb' -^ 3 c^, j — aca' -h 2 bcb' — ab"^ — a b"^ — c^,
dont la découverte appartient à M. Caylej, sont les in{>ariants fondamentaux de/*. Elles jouissent de cette propriété, qu'en supposant
{a, b^ Cj b' ^ a' ){'y.x -\- ^y^ ^(x -\- oy)'* = (A, B, G, B', A')(^, j)^,
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les fonctions semblables
I == AA'— 4BB'-i- 3G2, J = AGA'-+- 2BGB'— AB'2 A'B^ — G» vérifieront les égalités
I=..-(ao-PY)S J=y(aS-PY)'-
De plus, elles sont bien des invariants fondamentaux; car M. Sjlvester a démontré que toute fonction rationnelle et entière de a, 6, Cy b\ a' qui se reproduit, multipliée par une puissance du déterminant aS — py, lorsqu'on j remplace a, 6, c, b' ^ a' par A, B, C, B^, h! j est nécessairement une fonction entière de i et y. Je pense pouvoir renvoyer pour les démonstrations de ces propositions importantes aux travaux des savants géomètres que je viens de citer, et arriver immédiatement à la notion des covariants de la forme biquadratique.
Et d'abord, je rappellerai qu'on nomme covariant d'une forme de degré quelconque
toute autre forme
cp(a, b, c, . . .; x, y)
dont les coefficients sont fonctions rationnelles et entières de a, 6, c, ... et qui jouit de la propriété qu'exprime l'équation
(aS — PY)Kcp(«, ^^, c, ...; a^-f- ^y,^x-^ly) == cp(A,B, G, ... ; x,y),
les quantités A, B, ... étant toujours celles qui donnent
{a, b,c, ..., c', b\ a'yi^x -4- .3/, y^ -^- 8jr)'^ = (A, B, C, . . . )(x, yY'K
Telle est, par exemple, relativement à toute forme/, la forme
d-^f Y d-^f dV
^ d.T dy / dx^ dy^
comme l'a démontré sous un point de vue plus général M. Hesse. Dans la théorie spéciale des formes biquadra tiques, le covariant ainsi obtenu joue un rôle important; nous le désignerons par ^, en posant
\ 2 d^ f d'^ f~\ \dxdyl dx^- dy^- \ ^ ^ ^ ^
-H (3c- — ibb' — aa')x'^y^- -- -lib' c — a b)Ty' -^ {b'~ — a' c) y'-*-. H. - I. 23
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De f et g on tire la notion d'un nouveau covariant du sixième degré, que je définirai ainsi
dx dy
dg dg dx dy
En faisant
h ^ (p, q, r, s, r\ q',p')(x,yy,
on aura ces valeurs
p= a^b' — 'dabc -^ib^^
p'=— a'-^b -f- ^a'b'c — ib"^, 6q = -{- a^ a' -{- 2 abb' — c)ac^ H- 66^0, 6q' rrz — a'2a — 2a'6'è + 9a'c2 — 66'2c, 3 r — -f- aba' — 3 acb' -i- 2b^-b', 3r' = — a'b'a~^3a'cb — ib'^b, 2s = a'b^ —ab'K
Il existe entre/, g^ h et les invariants /, j une relation remarquable et importante, savoir :
(A) \ê^'~ipg-j'P--hK
M. Cajlej,qui m'a communiqué cette relation que j'avais aussi obtenue de mon côté, en a tiré une méthode ingénieuse et très originale pour la résolution de l'équation du quatrième degré. Comme cette résolution est un point essentiel de la théorie algébrique des formes biquadratiques, je vais la présenter sous le point de vue qui m'est propre, et y rattacher la démonstration de l'équation (A).
Résolution de l'équation du quatrième degré.
Soit, en décomposant en les facteurs linéaires la forme proposée,
(a, b, c, b', a){x,yf = a(x — c(.y){x-~ ^y){x — -(y)(x — oy):
La réduite du troisième degré s'obtient, comme on sait, en considérant la fonction résolvante
^ := «(an- p — Y — 8),
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clonl il faut calculer le carré. Or on peut mettre t'^ sous cette forme
d'où, en posant
et évaluant en fonction des coefficients la somme des carrés des différences des racines
Cette quantité 9 que nous avons introduite dépend, comme on le sait d'avance, d'une équation du troisième degré, qui aurait pour racines :
Or cette équation s'obtient très facilement par la remarque suivante : Posons
/\ (a, 6, c, b\ a'){mx -\- ;jljk, ^•'^ -+- vjk)'*
^ (A,B, G, B', A')(a^', 7)^ = P^{x ~ ay){x - by){x — cy) {x — dy),
on aura ces valeurs pour le coefficient A et les racines de la transformée, savoir :
A = a{m — ocn) (m — i^n) (7?i — yn) (771 — ^n),
m — a/i /?^ — ^ti 7n — y^
d'où l'on conclura
k{a—d){b— c) = (mv — 7Z[JL)2a(a -8)(P y):
A(a — c) (^ — ^) = (/nv — ^[ji)2a(a — y)(P -^ ^)' A(a — ^>)(c — ^) == (/nv — ^i[jL)2a(a — P)(y — S).
Ces relations montrent que les quantités 9 se reproduisent dans toutes les transformées, multipliées par le déterminant de la suIj-
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slitution; ainsi les coefficients de réquaûon dont elles dépendent sont des invariants de la forme proposée. Ces coefficients sont d'ailleurs des fonctions entières de a, 6, c, b' ^ a! \ donc, d'après la proposition de M. Sjlvester, ils s'expriment à fonction entière des quantités ielj. L'équation cherchée est ainsi de la forme suivante :
0 et 0- étant numériques. En effet, le coefficient de 9^ doit être nul, puisqu'il n'existe pas d'invariants du premier degré, et les deux autres ne peuvent être que proportionnels respectivement à i ety, qui sont les seuls invariants du second et du troisième degré. Pour trouver p et a-, considérons un cas particulier, par exemple celui de la forme
on a alors
et, par suite, l'identité
(6 i)2(e + i)= 63 + 3p6-4-cr.
d'où
L'équation en 0 est donc généralement
Le discriminant de la forme proposée se ramène immédiatement au discriminant de cette équation en 9, car on tire des relations (B)
6,-62 = la(a-Y)(.3-8),
ei-e3 = ia(a-a)0-Y),
e2-e3 = la(a-?)(3-Y), donc
(Gi- 60^01- e3)2('02- 63)2
:= ^' (a P)Ha - T)Ha - 6>(P -- Y)2(p 8)^ (Y - 3)^ = ^ (.'3 ,^y2).
Cette expression si importante se présente ainsi immédiatement sous la forme remarquable que lui a donnée M. Caylej. Dans le
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cas OÙ elle est négative, deux des racines de la forme biqiiadratique sont imaginaires et les deux autres réelles. Mais, si elle est positive, elles peuvent être toules réelles ou toutes imaginaires.
En général, le produit des carrés des différences des racines d'une équation de degré quelconque est positif ou négatif suivant que le nombre des racines imaginaires de cette équation est
Er= G ou ^2 (mod. 4).
La condition nécessaire et suffisante pour que, i^ — ^77^ étant positif, toutes les racines soient réelles, consiste en ce que les trois valeurs distinctes du carré de la fonction résolvante, c'est-à-dire les trois quantités
b- — ac -\- a^i^ b~ — ac -^ a^oy ^^ — ac -\- a^^^
soient positives. Or leur somme est
3(62 — ac),
la somme de leurs produits deux à deux est
Z{b^ — acY—\ia^-,
et nous prouverons plus loin que leur produit est un carré; donc, pour qu'elles soient positives, il suffit d'écrire
ô2 ac> o, J2(62 ac)2— ia2 > o.
On obtient ainsi, sous la forme la plus simple, et indépendamment du théorème de M. Sturm, les conditions de réalité des racines de l'équation générale du quatrième degré.
Relation entre les formes /, g, h et conséquences de cette relation dans la théorie des fonctions elliptiques.
L'équation remarquable qui existe entre la forme proposée / et ses deux co variants g et h^ savoir :
(A) [,gz^ipg^jp^h\
peut être obtenue par plusieurs méthodes. Celle que nous em-
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ployons la rattachera à ce fait bien connu, et qu'il nous reste à établir, que le produit des trois valeurs distinctes du carré de la fonction résolvante, qui aura l'expression
— ^(b^ — ac)'^ — ia-{b^ — ac) — /a^,
est un carré parfait.
Partons pour cela de l'identité suivante :
(a, b, c, b', a' )i^x -- by, ayy
— [a, o, — a{b^ — ac), a{a^b'— 3 abc -j- ib^), ia^ — 3a{b'^— <^<^)"] L^^ j]^?
OÙ le second membre est une transformée par une substitution au déterminant a de la forme proposée. Il en résulte, pour l'invariant J de cette transformée, la valeur
Or, en calculant directement J, on trouve
J ^ a3[4(62 — ac)3 — ia^-{b^ — ac)~{a'^b'~ 3a6c -f- 2^3)2 ],
et, en égalant cette expression à ja^^ il vient
4(^2 acy — La^{b'^~ac)—Ja^ ==: {a^b'~- Zabc-^ ib^Y;
ce qui démontre la proposition annoncée.
L'équation (A.) s'en déduit de la manière suivante :
Posons
(a, b, c, b\ a'){^mx~\- ^y, nx-\~^tyf == (A, B, C, B', A'j(^, j/',
m ei n étant des quantités arbitraires, et ul et v étant telles que le déterminant de la substitution est
Relativement à la transformée ainsi obtenue, nous aurons
4(B2 — AG)^ - i:A2(B2 — AG)— yA3 ^ (A2B'— 3 ABG -f- 2B3)2 ;
car les invariants ^* et j seront restés les mêmes. J'ajoute que les
quantités
A, B2 — AG, A2B'— 3ABG-i-iB3
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deviendront respectivement y, g^ A, en y mettant m et n an lieu de X et jK, de sorte que nous tomberons précisément sur la relation à démontrer.
Soit en effet cp(a, b^ c, b' ^ o! \ x^ y) l'une quelconque des formes f^g^h\ nous aurons, comme il a été dit (§ I), la relation caractéristique pour les covariants
(/?iv — n]xf^ cp(a^ hj c, h\ a'\ mx -f- \i.y^nx -h vj^) = cp(A, B, G,B', A'; x, y),
ou seulement
cp(a, b, b, b', a' \ mx -h \j.y, nx -h vy) — çp( A, B, G, B', A'; x, y)^
puisque le déterminant delà substitution est V unité. Faisons, dans cette identité,
X=l, JK-=0,
le second membre se réduira au coefficient de la puissance la plus élevée de x^ c'est-à-dire, en supposant successivement
? = /, ^, h, aux quantités
A, B^ — AG, A2B'-3ABG-f-2B3.
Or, dans les mêmes circonstances, le premier membre représente les formes /*, g^ h lorsqu'on j met les quantités arbitraires m et n au lieu des indéterminées x et jk, ainsi que nous voulions le démontrer.
La relation
trouve une application immédiate à la théorie des fonctions elliptiques. Mettons-la sous la forme
en divisant par/^ et extrayant la racine carrée des deux membres. Considérons ensuite l'indéterminée x comme une variable indépendante, et faisons
il suit du principe algébrique de Jacobi pour la transformation
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36o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
des intégrales elliptiques que la substitution rationnelle
(62 — ac) x'* -\- i{bc — ab' ) x^ -^ {"^ c'^ — ibb' — aa')x~
i(h' r— a'b^ x^ib'^ — a'c)
donnera
dz r dx
J \J {a,b,c,b\a'){x,\Y \]L étant une constante. Mettons encore z '4 au lieu de z^ l'intégrale
dz
y/4 z^ — iz — j sera ramenée à la suivante
dz
\/pz'^ — z
p désignant la constante H^ • Ainsi nous avons la réduction de l'intégrale elliptique la plus générale à une autre plus simple où n'entre qu'un seul paramètre. Et l'on voit immédiatement que toutes les intégrales, liées à la proposée
dx
par une substitution linéaire quelconque
conduiront absolument à la même intégrale réduite, le rapport A^ conservant la même valeur dans toutes ces transformées.
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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 36l
SECONDE PARTIE
