PREMIER MEMOIRE

Une proposition élémentaire et fondamentale dans la théorie arithmétique des formes consiste en ce que, pour un degré donné, et pour un nombre donné d'indéterminées, toutes les formes à coefficients entiers qui possèdent les mêmes invariants sont réductibles à un nombre fini de classes distinctes. Ce théorème a été démontré par Lagrange et Gauss pour les formes quadratiques à deux et à trois indéterminées; je Fai étendu ensuite aux formes quadratiques générales^ et à toutes celles qui sont décomposables en facteurs linéaires ; ainsi il paraît bien vrai dans toute sa généralité. Mais, pour arriver à l'établir de cette sorte, il faudrait résoudre, dans toute leur étendue, les problèmes suivants, aussi beaux que difficiles.

Le premier, qui appartient à l'Algèbre, consiste à obtenir la notion complète de ces fonctions rationnelles entières des coefficients, nommées invariants par M. Sylvester, dans le sens primitivement attribué par M. Gauss au mot de déterminant.

Le second, qui est du ressort de l'Arithmétique, consiste à découvrir par quelles substitutions à coefficients entiers on peut transformer une forme donnée en une autre dont les coefficients aient des limites, fonctions seulement des invariants. Enfin, il faut une méthode propre à donner le système complet des formes

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FONCTIONS HOMOGENES A DEUX INDETERMINEES. 35 1

réduites, représentant la totalité des classes distinctes pour des valeurs assignées a priori aux invariants.

En me bornant à la considération des formes à deux indéterminées, j'ai présenté un premier essai sur ces questions dans mon Mémoire Sur l^ introduction des variables continues dans la théorie des nombres. Le principe dont j'ai fait usage fait résulter de la même analyse la notion des invariants et la théorie arithmétique de la réduction. Mais, dès le cinquième degré, l'application de ma méthode devient si compliquée que les résultats généraux ne se trouvaient établis qu'à titre de possibilité, et il restait à découvrir une méthode numériquement applicable. C'est ce qui a été l'objet de mes recherches assidues depuis plusieurs années, et j'espère j être enfin parvenu, mais pour le cas seulement des formes de degrés impairs. Une différence profonde se manifeste en effet dans la nature analytique des formes binaires, suivant que le degré est un nombre pair ou impair. Ces dernières me semblent plus faciles à traiter; j'ai trouvé qu'elles jouissent (sauf une exception, celle des formes cubiques) de cette propriété arithmétique générale que, pour un système donné de valeurs des invariants, les formes des diverses classes sont transformables les unes dans les autres par des substitutions linéaires au déterminant «/?, mais à coefficients fractionnaires; c'est-à-dire, en adoptant la notion proposée par M. Eisenstein, que les diverses classes qui ont les mêmes invariants ne forment qu'un genre. Les formes de degrés pairs m'ont présenté de plus grandes difficultés, que dès longtemps je ne puis espérer vaincre. Mais j'ai remarqué que le cas des formes biquadratiques se distinguait d'une manière toute particulière, comme le cas des formes cubiques, par rapport aux autres formes de degrés impairs. Aussi me suis-je proposé d'en faire une étude spéciale dans ce Mémoire, en développant à leur égard les principes fondés sur l'introduction de variables continues que j'ai précédemment e^^osés [Journal de Crelle, t. 41). J'offrirai ensuite avec plus d'étendue et plus de développement la nouvelle théorie dont j'ai donné une idée sommaire dans le Journal de Mathématiques de Cambridge et Dublin \^Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées (Cambridge and Dublin Mathematical Journal y i854)], et qui m'a conduit aux résultats que je viens d'annoncer sur les formes de degrés impairs.

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