THÉORIE ARITHMÉTIQUE DES FORMES BIQU ADR AT IQ UES

De la forme quadratique sur laquelle repose la théorie de la réduction.

Je considérerai spécialement, dans ce qui va suivre, les formes biquadratiques à racines réelles ^ et je me propose d'exposer à leur égard l'application de la méthode générale que j'ai donnée dans mon Mémoire Sur V introduction des variables continues dans la théorie des nombres. Cette application aurait dû trouver immédiatement place à la suite de ce Mémoire, mais alors je n'avais pu encore réussir à lever plusieurs difficultés dont la solution sera maintenant très facile en se fondant sur les résultats que j'ai donnés i( i dans la première Partie. Dans une autre occasion j'essaierai de traiter aussi les formes biquadratiques qui ont des racines imaginaires et qui me semblent devoir donner lieu à une étude intéressante.

Soit, comme précédemment,

les racines a, [3, y, S étant réelles. Le principe arithmétique de la théorie de la réduction repose sur la considération de la forme quadratique

cp — t(x — ay)'^-t- t' (x — PjK )- -r- i" {^ — TT )" + ^"' (^ — ^yf^

où les quantités t, t^, f ^ f sont des variables réelles et positives. Nommons A V invariant de cette forme et S la substitution à coefficients entiers propre à la réduire pour un système donné de valeurs des quantités t. En effectuant dans/ cette substitution S, on aura une transformée

dont les coefficients vérifieront les conditions suivantes

i44 tt'ft'" ^ i44 tt't't'" ^ 144 tt'ft!"

qu'on doit considérer en valeur absolue. Ces conditions, que j'ai données dans le Mémoire précité (§ V, 4^)? conduisent à considérer attentivement la fonction

tt't"t"'

et à rechercher les valeurs réelles et positives des variables t pour lesquelles elle prend la plus petite valeur possible. J'ai établi que ce minimum avait une valeur constante dans toutes les transformées équivalentes à la forme proposée, ce qui m'a permis de la prendre comme définition de l'invariant de la forme biquadratique. J'ai démontré aussi que '^ devenait un covariant dey, lorsqu'on j remplacerait t^ t' ^ ... par les valeurs spéciales qui fournissent le minimum de T. Ce sont ces diverses conséquences de ma méthode générale que je vais développer seulement pour le cas particulier des formes biquadratiques. Je les ferai précéder de ces deux remarques :

Premièrement, aux inégalités

AA'<-^-|^T, BB'<j-i-^T, G2<^T on peut joindre les suivantes