AB'2< L T2, A'B2< -- T

qui se tirent de la même analyse, afin, par exemple, d'obtenir une limite pour le coefficient B, si l'on suppose B^=:o, l'inégalité BB^-<— ^T ne pouvant plus alors être employée. On généralisera très facilement cette remarque, qui est essentielle pour prouver qu'il n'existe qu'un nombre fini de formes F, dont les coefficients vérifient un pareil système d'inégalités. Dans le cas présent, il n'y a à faire d'autre restriction que de supposer qu'on n'ait jamais simultanément

A = o, B — o ou A' — o, B' = o,

c'est-à-dire que la forme quadratique n'a pas de racines doubles, comme on le voit aisément. Il est d'ailleurs inutile d'exclure le cas des racines commensurables, qui pourrait donner A ou A'= o.

La seconde observation qui me reste à faire est relative à cette opération arithmétique de la réduction de la forme quadratique ç.

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pour tous les systèmes de valeurs des variables t^ t^ ^ f ^ t'" ^ qui joue un rôle essentiel dans ma méthode. Divisons cette forme par le coefficient du premier terme, de sorte qu'elle devienne

en posant

t «^-^- ^t'-\-^t"-\- ot'" ^ yM -^ p2 t' ■-{- f- f -h 0'- f'"

Au lieu des quantités t^ on pourra faire varier \ et rj; alors, ce qui caractérisera, pour une forme donnée, l'opération dont nous nous occupons est l'étendue des valeurs que pourront recevoir ces nouvelles variables lorsque les quantités passeront par tous les états de grandeur. Or la forme analytique de \ et '^ rappelle immédiatement les expressions connues pour les coordonnées du point d'application de la résultante d'un système de forces parallèles. Considérons donc sur un plan quatre points A, B, C, D rapportés à des axes rectangulaires, et ayant pour abscisses a, |3, y, S et pour ordonnées a^, p^j y2^ §2 Lg quadrilatère ABCD sera inscriptible dans une parabole, comme on le voit aisément, et par suite sera convexe. Si donc on applique aux divers sommets A, B, G, D des forces parallèles et de même sens, respectivement représentées par t. t\ f ^ t"^ , le point d'application de leur résidtante sera situé dans son intérieur et y pourra occuper une position quelconque, suivant les valeurs des composantes. Les quantités ^ et t^ représentent donc les coordonnées d'un tel point; ce qui donne une image très nette des divers états de grandeur par lesquels elles devront passer pour correspondre à toutes les valeurs possibles que doivent prendre les quantités ^, t' ^ t!^ ^ l!" dans la forme cp .