TT = T T

Gela posé, comme nous avons seulement à déterminer les rapports des inconnues, prenons par exemple t = i . On trouvera ces quatre systèmes de valeurs :

Or il est essentiel de rechercher celui qui donne pour t^ t' ^ f ^ f des quantités positives, comme l'exige la question. Supposons à cet effet, que a, p, y, 5 représentent les racines de la forme biquadratique, rangées par ordre décroissant de grandeur. Il est aisé de voir que le premier système conduit seul à des solutions positives, et que les trois autres doivent être écartés. Effectivement, si l'on fait pour un instant

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les quantités t auront alors pour valeurs

t' ^ r^ » t" =^-\ TT—. > i" = -

et l'on sait bien qu'on obtient des résultats alternativement positifs et négatifs, en substituant dans la fonction dérivée la série constante des racines. Nous sommes donc conduit à cette expression remarquable de la forme quadratique cp, que nous écrivons en

introduisant le facteur - » savoir :

et il nous reste à former son invariant A, afin d'obtenir la valeur minimum de la fonction T.

Les quantités ^ et '^, dont il a été question précédemment, représentent pour cette forme ff les coordonnées du point d'intersection des diagonales du quatrilatère ABCD.

A cet effet, nous observerons qu'on a, par une formule connue,

d'où résulte cette autre expression de cp :

Or on en tire sans difficulté

^^- X'(°')X'(T) On a d'ailleurs

«'x'(^^>>X'(P)X'(Y)X'(o) donc

^ - tt'ff ~'^'' ^"^ ^^ x'(«)x'(ï)

et, en supprimant les facteurs communs,

Nous retrouvons ainsi les invariants fondamentaux des formes

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biquadratlques, comme coefficients de l'équation du troisième degré qui déterminerait T en fonction de a^ h^ c, V ^ a'. Au fond, c'est Téquation en 9 que nous avons trouvée dans la première Partie, en traitant la résolution algébrique de l'équation du quatrième degré, qui se présente de nouveau. Nous avons, en effet, trouvé

donc

ce qui peut s'exprimer en fonction entière de la troisième racine 83. Les considérations suivantes vont nous conduire aux covariants g et A, de sorte que le système complet des éléments analytiques de la théorie des formes biquadratiques résultera naturellement des principes sur lesquels nous avons fondé la théorie arithmétique de la réduction.

Expression par les coefficients de / de la forme quadratique o qui correspond au minimum de T.

Nous allons d'abord vérifier a posteriori que la forme

qui correspond ainsi au minimum de T, est un coi^ariant de /,

comme nous le savons par la théorie générale. Soit à cet effet

/\ (a, b, c, b' , a' ){ mx -\- [xy, nx -+- vjk)'*

=: (A, B, G, B', k!)l,x,yy ^ k{x — ^y){x -~\sy){x ~t:y){x -\sy)

et <ï> la même forme que cp par rapport à la transformée

(A, B, G, B', A'K^,JK)^.

En posant

on aura

j^ Ux-i\yY (^— l\r)- {x — iyY __ (^ï,j)2-i a[ X'(a) X'(b) X'(c) X^(ï.) J-

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Or, au moyen des valeurs données (première Partie, § II) pour A, II, b, t, ïr, on trouvera immédiatement

. ^y ^ =z (^ni — an) {x — a y ) , -vjK) = {m— ^n){x — i^y), . vj) =-- {ni —-(n){x — cy).

• vjv' ) = (m — ^n) (x — ï» / )

mx -h [ly