CC{71X

mx -H ixy

- ^{nx

mx -^ ixy -

— ^{nx

mx -H ixy -

— l{nx

et

(mv — 'ip-)'^»

(m — ccn)^ I

ay'{ a) '" AX'fa)

ax'([i) ~ AX'(b)

(m—-(7iy I

«//(y) AX'(c)

aX.'(^J AX'(l>)

d'où résulte qu'on obtient

(mv — niJ.)'-^ 4>,

en mettant dans cp, mx 4- [f^y et nx -h vjk au lieu de œ eiy.

Cela posé, pour évaluer cp au moyen des coefficients de /, nous observerons que la fonction résolvante

varie ou conserve sa valeur pour les mêmes permutations des racines a, p, y, 8, que la forme cp, de sorte que, suivant l'expression de Lagrange, on a ainsi deux fonctions semblables de ces racines. Or nous avons précédemment obtenu (première Partie, § il) le carré de la fonction résolvante en fonction de la quantité 9, d'où il suit que le carré de cp s'exprimera rationnellement par les coefficients de la forme proposée f et cette même (juantité 9. Mais il importe de fixer avec précision celle des trois quantités que nous avons désignées par 6,, 82? ^3? q^^ii entrera ainsi dans l'expression de co^. Et, d'abord, les trois valeurs

s'expriment respectivement par 6<, 82? ^3 î c'est donc la racine 6.j que nous aurons à employer, et qu'il faut essayer de caractériser, de manière à la faire reconnaître sans ambiguïté.

Hosted by

Rappelons, à cel effet, les relations

ei-Ô2-ia(a-Y)(p-a), 61-63= i-a(a- 5)(?-y),

Gomme nous avons supposé les racines a, [3, y, 5 rangées par ordre décroissant de grandeur, on voit qu'on aura

si le coefficient a est positifs et, s'il est négatifs

donc, dans les deux cas, 83 est la racine moyenne, comprise entre les deux autres 9i et 82-

Ce point important établi, voici comment on obtiendra cp^. De la seconde des expressions précédemment données, savoir :

{x — ay}- ^ {x — YJK)^

on conclura aisément

' ~ aHa-:^)(ô-T).(^-5)(!^-T) Le facteur irrationnel

est un inçat^iont, comme égal à

8(ôi--63)(e2-63)' ainsi la forme plus simple

^= [a(oc — jB -i- Y — 3), a(38 — aY), «(aj^Y-H ayo — a^o — ?^^)]i^,yy'

sera un co^ariant de /, aussi bien que cp. Or le carré de son premier terme s'obtient de suite par la formule

«^(a-f-Y— ^ — ^Y^ 16(62 — ac-f- «63).

Hosted by

On en conclut le résultat suivant, auquel nous voulions parvenir, savoir :

/ étant la forme proposée et g le covariant dont nous avons donné la définition au commencement de ce Mémoire. En effet, on peut dire en général que deux co variants d'une même forme, qui ont leurs premiers termes égaux, sont par cela seul nécessairement identiques. C'est une conséquence immédiate de ce que nous avons établi (Première partie, § 111), en déduisant les fonctions /, ^et h seulement de leurs premiers termes

a, h°^ — ac et à^h' — '^ahc -\- ih^.

Nous sommes ainsi ramené par une voie nouvelle à la considération du covariant g^ et aussi à la relation importante

4^3 if'ig __j'p = 4(^ -^6,/) (^ -4- 6,/) {g 4- 63/) = hK Chacun des facteurs

se trouve être en effet le carré d'une forme quadratique analogue à ^. (Cette propriété a été aussi obtenue par M. Caylej, qui m'en a donné récemment communication; elle est le point de départ de la méthode de résolution de l'équation générale du quatrième degré, dont j'ai parlé au commencement de ce Mémoire.) Ainsi leur produit est bien un carré parfait. En même temps, nous obtenons la décomposition en trois facteurs du second degré du covariant A, d'où l'on peut conclure la résolution de l'équation h = o.

Des questions arithmétiques dont les résultats précédents donnent la solution.

Etant proposées deux formes biquadra tiques f et y^, on pourra reconnaître si elles sont équivalentes, ou non, en calculant leurs transformées réduites F et F^ Pour obtenir ces transformées réduites, on formera l'équation en 9, qui sera la même pour /^et/ ; H. — I. 24

Hosted by

SjO (»:UVRES DE CHARLES HERMITE.

car on doit d'abord supposer à ces deux formes les mêmes invariants. Cela fait, on choisira la racine moyenne de cette équation en 9, et l'on en déduira les deux formes quadratiques ^ et ^' ^ en extrayant la racine carrée des fonctions

La réduite F s'obtiendra en effectuant dans f la substitution à coefficients entiers et au déterminant un^ propre à réduire J;, et la réduite F^ en effectuant dans,/*' la substitution propre à réduire ^' . Maintenant il suit de notre théorie : la condition nécessaire et suffisante pour que / et f soient équivalentes est que F et F' soient identiques.

En second lieu, si l'on propose de calculer le système complet des formes réduites qui ont les mêmes invariants ielj\ on déduit de la valeur minimum de T, ci-dessus obtenue, savoir :

où 84 et 82 désignent la plus grande et la plus petite racine de l'équation en 6, la règle suivante :

On calcule j^a tous les systèmes de nombres entiers A, B, C, B', A' qui vérifient en valeur absolue les conditions

AB'2 < (l)^(ei - 02)^ A'B-2 < (A)3(0j 02)3.

Ces systèmes, en nombre évidemment fini, donneront autant

déformes F', F", F^'^, On choisira les réduites destinées à

représenter définitivement les classes distinctes de mêmes invariants^ en calculant les formes quadratiques \/(F + Ô3G), y/(F'-f- QsG^), .. . et conservant seulement celles des formes F, F', ... auxquelles correspondront ainsi des formes quadratiques réduites, ou le coefficient moyen ne surpasse pas celui de x'^, qui lui-même ne doit pas surpasser celui de y^.

Dans une autre occasion, j'espère pouvoir présenter des applications numériques de cette théorie; je me bornerai maintenant à remarquer cette circonstance que, pour les formes quadratiques à facteurs réels, l'invariant y est essentiellement limité par la valeur

Hosted by

FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. Sjl

donnée de i, EfFectivement, comme le discriminant P — ^ij^ doit être positif, il faut qu'on ait p < rf ^^ ? ^^ P^^^* donc dire que toutes les formes biquadratiques à racines réelles

pour lesquelles la fonction aa^ — /\bb' -^ Sc'^ a une valeur donnée, sont réductibles à un nombre fini de classes distinctes.

Paris, juillet i854.

Hosted by

SUR LA THÉORIE

DES