SECOND MEMOIRE
Dans mon premier Mémoire, qui a pour principal objet l'élude des formes biquadra tiques, j'ai eu soin de considérer séparément la théorie algébrique et la théorie arithmétique de ces formes. Relativement aux formes quadratiques, une pareille distinction serait inutile, en raison du petit nombre de notions algébriques qu'il est nécessaire d'établir comme base des considérations arithmétiques. Mais, dès qu'on s'élève aux formes binaires de degré quelconque, on voit la théorie algébrique prendre un développement inattendu et digne du plus grand intérêt. En effet, en présence des éléments analytiques nouveaux dont elle manifeste l'existence, les notions les plus simples et les plus faciles qui nous sont requises par l'étude des formes quadratiques viennent alors s'offrir sous un tout autre aspect, et parfois, donnent naissance à des notions nouvelles. Je me propose d'en montrer ici un exemple, en traitant de la distribution en ordres des formes cubiques et biquadratiques .
M. Eisenstein, dans son beau Mémoire intitulé : Nouveaux théorèmes d^ Arithmétique transcendante , publié dans le Journal de Crelle, t. 3o, a déjà remarqué que la présence des formes adjointes, dans la théorie des formes quadratiques ternaires,
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conduisait à faire reposer la distribution en ordres de ces formes sur un principe nouveau et différent de celui que M. Gauss a donné pour les formes binaires. Nous allons voir que, pour les formes cubiques et hiquadratiques, le principe de M. Eisenstein va luimême se présenter sous un jour plus étendu, et conduira à trois subdivisions différentes de la totalité des formes qui possèdent les mêmes invariants fondamentaux .
C'est là d'ailleurs un résultat qui appartient en propre aux formes dont nous parlons; de sorte que la forme du cinquième degré et celle de degrés plus élevés donnent lieu pour la distribution en ordres à des considérations toutes différentes. Plusieurs autres faits se présenteront, comme nous l'avons déjà annoncé dans la suite de ces recherches, pour manifester dans des circonstances variées cette différence de nature qu'on rapproche naturellement de cette différence analytique si profonde, entre les racines des équations des quatre premiers degrés, qui s'expriment par simples radicaux, et celles de degrés plus élevés qu'il est impossible d'obtenir de cette manière.
Dans l'espérance que de pareilles considérations intéresseraient peut-être, j'ai développé, avec détails, l'application aux formes du cinquième degré des propositions algébriques générales sur lesquelles reposent la distribution en ordre des formes binaires. Plusieurs des résultats qui se présenteront dans cette application se retrouveront d'ailleurs et joueront un rôle important dans l'étude spéciale des formes du cinquième degré, à laquelle je consacrerai prochainement un nouveau Mémoire.
Principe de la distribution en ordres des formes binaires.
Il est un point de vue sous lequel la notion des ordres de classes quadratiques de même (ie7g/'/?2maAZ/ s'étend immédiatement à toutes les formes, quel que soit leur degré et le nombre de leurs indéterminées. Ainsi, en ne considérant que les formes binaires et leur appliquant la méthode suivie par M. Gauss dans le § 226 des Disquisitiones Arithmeticœ, on peut nommer primitives toutes les
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formes
de mêmes inçariantSy dans lesquelles le plus grand commun diviseur de <2, b^ c^ ... est l'unité. Cela dit, l'ordre proprement primitif sera défini comme réunissant toutes les formes dans lesquelles le plus grand commun diviseur de
- m. m — I a. mb, c,
sera l'unité, et ensuite on obliendra autant d'ordres improprement primitif s que le plus grand commun diviseur de ces mêmes nombres pourra recevoir de valeurs distinctes. Maintenant, si l'on passe aux formes
dont les coefficients A, B, C, ... ont un plus grand commun diviseur 8, on pourra les nommer dérivées des formes primitives
Gela posé, pour chaque valeur de S, on aura un groupe de formes dérivées, dont la distribution en ordres suivra immédiatement celle des formes primitives qui leur correspondent. Rien de plus facile, on le voit, que cette première extension des principes de M. Gauss qu'il nous a suffi d'indiquer en peu de mots. Mais, dès qu'on considère d'autres formes que les formes quadratiques à deux indéterminées, on voit intervenir de nouveaux éléments analytiques qui jouent dans toute la théorie un rôle essentiel; ce sont les formes adjointes et les formes nommées covariants par M.Sjlvester. Ges deux genres de formes ne sont pas essentiellement distincts, comme on le sait, dans la théorie des formes binaires; ils se ramènent aux seuls covariants, dont je crois devoir encore rappeler la propriété caractéristique.
Soit /^
une forme binaire, et supposons qu'on ait identiquement
(«, è, c, ...X^^-f-rr, r^oc^rly)"^ -(A, B, G, ...H^,jr)"S
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on donnera le nom de covariant de /à toute fonction
rationnelle et entière en (^, 6, c, ... ; x., y, qui satisfait à la condition
(A) {X^--rf^yo{a,h,c. ...; \x-^^y, y)^ -4- tj» - cp(A, B, G, . . . ; x,y),
l'exposant de la puissance à laquelle est élevé le déterminant de la substitution ^r/ — y^^' étant entier et positif. Gela posé, il est bien facile de reconnaître que le plus grand commun diviseur des • coefficients d'un covariant quelconque cp, de la forme /, sera un élément numérique, caractéristique de la classe entière à laquelle appartient cette forme. Nommant, pour un instant, cp^ une expression semblable à cp, mais se rapportant à une forme f arithmétiquement équivalente à /, il suit de l'équation (A) que cp et cp^ seront elles-mêmes arithmétiquement équivalentes et auront nécessairement le même plus grand commun diviseur pour leurs coefficients. L'ensemble des classes /,/^,/2,..., qui ont les mêmes in{>ariants, peut être ainsi divisé en ordres en appliquant le principe même de M. Gauss, tel que nous l'avons présenté tout à l'heure, aux covariants ^^ cp^, cp2, ... qui leur correspondent respectivement. Et, par là, on voit s'offrir autant de divisions en ordres que de covariants distincts, de sorte que l'idée arithmétique très simple, qui nous a été donnée par la théorie des formes quadratiques, reçoit, par le fait de l'existence des divers covariants, un développement aussi intéressant que difficile à suivre. On est conduit en effet à ces problèmes, sources de belles recherches analytiques :
I ^ Trouver tous les covariants des formes d'un degré donné.
2° Trouver commerit dépendent des invariants fondamentaux^ les diviseurs d'un covariant quelconque, qui fournissent les caractères dhtne division en ordres, relative à ce covariant.
3° Comparer entre elles toutes les divisions en ordres qui reposent sur la considération des divers covariants.
G'est la solution de ces questions que nous nous proposons d'offrir pour les formes cubiques et biquadratiques . Elle se fonde principalement sur les propositions générales que nous allons établir.
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Propositions sur les covariants des formes binaires.
Première proposition. — Soient g et h deux covariants quelconques de la forme
de sorte qu^ en faisant
{a, b, c, ...)lkx-^y.y, Ix -\-lyY^ = {k, B, G, . . .)lx, y)"t
et, pour abréger,
bi — kl — z/,
on ait
(i) w^^(a, b,c, ...; kx-^y.y, Ix^ly) = ^(A, B, G, ...;57, jk), (•2) (i)^h(a, b^c^ . . .; /ca; -h xjr, ^^ -1- '^y) = h(k^ B, G, . . . ; ^, y).
Je dis qu'en posant
on aura l'identité
(4) w^e(«,6,c, ...; to-4-zjK, ^^-H>^JK,X,co''+iY) ^ e(A,B, G. . . . ; ;r, j, X, Y).
Ainsi les coefficients des divers termes en X et Y dans cette fonction 6 se vérifieront de même nature que (i) et (2), et seront dès lors des covariants de f.
Soit
^ = to -H xjK, r\ =^ Ix -^ XjK,
dh ^ V ^^^ A/
w = 57X— ~Y, (^ = yX-4--— Y;
nommons U et V ce que deviennent respectivement u el {^ quand on remplace les coefficients a^h^ c^ ...^ qui entrent dans la forme A, par A, B, Cj . . ., de sorte que
U=^X-^-^^Al54^•^l^^Z)Y, v=.^X + ^M:^^Miiii1^iZ)y, ' ' ^J^ dx '
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je vais établir comme lemme qu'on aura
l AU-i-xV = ^X — co'
J'observe pour cela que l'identité (2), ou, ce qui revient au même, celle-ci :
w^A(a, ^>, c, ... ;^, r^) = /i(A, B, G, ... ; x,y), donne, par la différentiation,
(9A(A,B,G ■ ^,JK) ,r àh{a^h^c^...\\^r\) . ()/i(a,6, c, ... ; ^,r/)1
Or les équations (5) donnent immédiatement
A"U -+- X V = ( A-:?^ H- xjk) X
r c)A(A,B,G, ...\x,y) ^dh(k,B,C, ...; ^,.r)] y L' àx ' dy J '
l\] -^\y = {lx-\-\y)\
et, en substituant les valeurs des deux dérivées partielles que fournissent les équations (7) et (8), il vient précisément les équations (6) que nous nous proposions d'établir.
Cela posé, revenons à la relation (i), que nous allons reproduire en écrivant U et V au lieu de x et y, savoir :
9) co^^(a, ^>, c, ...; AU-+-xV,/U-4-XV)-^(A,B,G, ...;U,y),
et à la relation (3), par laquelle est définie la fonction 6, (10) g{a, b,c, . . .; u, v) = e(a, ^>, c, . . . ; x,y, X, Y).
Si, dans cette dernière identité, nous substituons A, B, G, ... à a, 6, c, . . ., il faudra aussi mettre U et V au lieu de u et r, et il
viendra
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OU bien, à cause de l'équation (g),
IVlain tenant, il résulte du lemme précédemment établi (équat. 6) que
k\]-hy.Y, /U-f-XV,
qui entrent dans le premier membre, sont ce que deviennent respectivement u el V lorsqu'on j remplace x etjrpar ^ etrj, et qu'on multiplie Y par 0)^^+^ . L'expression
g{a,b,c, ...; >^U-}-xV, /U-.-XY)
n'est donc autre chose, en vertu de l'équation (lo), que
0(a, ^>,c, ... ; ?,7],X, w^+iY),
et nous obtenons de la sorte la relation que nous voulions établir, savoir :
w^e(a, ^, c, . . . ; ^, r^, X, w^-+-iy ) = G(A, B, C, . . . ; x^y, X, Y).
On peut aisément juger, par cette première proposition, de la multitude des co^ariants qui existent pour une forme donnée. Ainsi, en prenant g qI h égaux à/", qui est évidemment an covariant par rapport à elle-même, on en obtiendra un certain nombre, avec lesquels on pourra encore employer le même théorème. Si donc on ne retrouve pas ainsi des formes obtenues précédemment, on verra de nouveaux co variants naître de tous ceux qui se sont déjà présentés, et il semble bien difficile de déduire de là une expression analytique générale pour tant de quantités qui peuvent, tout en restant dans le même principe, naître les unes des autres de tant de manières différentes. Voici ce qu'il m'a été donné de trouver après de longues méditations sur ce sujet :
Seconde proposition. — Nommons covariants associés à h ceux qui résultent de la première proposition lorsqu^on suppose g égal à la forme f : je dis que tout covariant de f, quel qu^ il soit, ou au moins son produit par une puissance entière de A, sera une fonction rationnelle et entière des covariants associés.
Pour mieux préciser d'abord, cette notion des covariants associés, reprenons l'expression analytique qui leur donne naissance.
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savoir :
Il conviendra, en nommant n le degré de h en x et j)^, d'écrire - Y au lieu de Y. Gela étant, si l'on met en évidence les coefiicients des divers termes en X et Y, il est clair que celui de X'^ sera la forme proposée/*, et, en faisant
(«,5,c,...y(.X-igY,^X^igY)'' = (/,/.,,.,...,/.„y(x,Y)''',
ces quantités Ai, Ao, . . ., km seront ce que nous nommons dorénavant les covariants associés à h.
Cela posé, soit
iz{a,b,c, ... ',oc,y)
un covariant quelconque àe f] nous pourrons écrire les deux ider.tités
{a, b,c, .. .K^X -+- x' Y, jkX -i-y Y)'« - ( A, B, C, . . .^ X, Y)"S
{xy--yx')V^iz{a, b,c, ...',xX-i- x'Y, jX 4-/ Y) - tu(A, B, G, ... ; X, Y),
a étant un certain nombre entier. Maintenant faisons
I dh
I dli^
-^ ~ n dx'
les coefficients A, B,C, ... deviendront respectivement/, h^^h^^ ..-. et le déterminant xj' — yx' la forme h elle-même. Supposons encore, dans la seconde équation,
son second membre se réduira évidemment au coefficient de la puissance la plus élevée de X, fonction rationnelle et entière de A, B, C, . . . que nous désignerons par (A, B, C, . . .). 11 vient donc ainsi l'équation suivante :
(il) AH'7t(a, 6, c, ...; ^,jk) = (/, Ai, ^2, • • ■ ),
par laquelle notre proposition se trouve démontrée.
Pour en montrer immédiatement une application, nous allons
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38o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
faire voir que tous les covariants d'une forme quadratique
fr= {a, b,c){x,yY
s'obtiennent en multipliant une puissance de / par une puissance de l'invariant b- — ac.
Remarquons d'abord que le second membre de la relation (i i) est homogène en f^ h^^ /zo, ..., car il provient de l'expression (A, B, C, . . l; qui est nécessairement homogène en A^ B, G, ... puisque, en général, tout covariant d'une forme est une fonction entière homogène des coefficients de cette forme. Cela étant, on trouve, en prenant h =/,
a,è,cj(^^X--igY,jX+igjj'=[/,o,(ac-^^)/f(X,Yr-
et
p^T.{a, h,c', x,y) =-^ [/, o, {ac - b^-)/].
Or, le second membre devant être homogène par rapport aux deux quantités /et (ac — b'^)/j ne peut être que le produit d'une puissance dey par une fonction de l'invariant, et, pour qu'un tel résultat soit aussi homogène en a, b^ c, cette fonction de l'invariant doit être proportionnelle à une simple puissance. Donc, tout covariant de la forme quadratique proposée, fonction rationnelle et entière de Xj y^ et a, 6, c par définition, est compris dans la formule
i et k étant entiers.
Si simple et si prévu que fut ce résultat, je n'ai pas cru inutile de l'établir rigoureusement à cause des conséquences qui s'en déduiront par l'application de la loi de réciprocité : conséquences que j'ai déjà indiquées dans le Journal de M. Thompson. D'ailleurs Il montre, sous un certain point de vue, comment les formes quadratiques se distinguent des formes cubiques ^xbiquadratiques, dont nous allons nous occuper, tout en partageant avec elles une j)ropriété caractéristique que nous verrons tout à coup disparaître dans les formes du cinquième degré. Nous ferons précéder ces questions de quelques remarques sur le système particulier des covariants qui sont associés à la forme proposée.
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Sur le système des covariants associés à la forme proposée.
On l'obtient en mettant en évidence les divers termes en X et Y dans l'expression
(a,b,c,...)'Lx^^fY,yX-^^'^r)"', \ / V m dy ' -^ 771 ôx j '
de sorte que, si nous faisons
(«•6,c,...j(^x-^gY,j.x + lgY)"'=(/,/.,/„...,y;„)(X,Y)'",
les covariants associés à /se trouveront désignés par/,/o, . , .^fm- Leurs premiers termes s'obtiennent facilement; car, en faisant y ^=. o dans les expressions
x\ ~--Y et yX H -f- Y,
m oy ^111 OX
elles deviennent simplement
xX — bx'^-'^\ et ax^'^-^Y.
En faisant, pour abréger,
on trouvera ainsi
Ce coefficient cp/( — b^ a) est divisible par a, comme on le voit aisément; il s'ensuit que, en employant la méthode donnée dans mon premier Mémoire, pour déduire un covariant de son premier terme on obtiendra la forme/ en facteur commun dans la série entière des covariants associés. Cette remarque faite, je vais étudier de
plus près les quotients -^i{ — b^ a\ en supposant à i les valeurs
1, 2, 3, 4j 5, et en écrivant les coefficients de / suivant l'ordre
alphabétique
i cpi(— ^,a) = o,
- 92(— ^, a) = — 62 -h ac, a '
- c^^{— b, a) — ib^ — ^abc + a^d,
- o,A— b, a) = — 3 6* -+- 6acb- — [bda^ -f- ea^,
- 9o(— 6, a) = :,'6s — 106ÏC63 + lob^da^ — 5bea^ -h/aK
Introduisons pour cela les expressions suivantes, savoir :
A, invariant de cp2(.T, y) = b^ — ac^
B, » ^^{x, y) = {bc — ady — ^{b^ — ac) {c'^ — bd), G, )) <D!,{x^ y) = ae — \bd-\-:>c^^
D, » o^{x,y)^{af^'^be-^'xcdY
— \{ae~ ^bd-\-'^c'^){bf~- ^ce -\-'èd'^),
on vérifiera sans peine les relations
i cpi(— 6,a) = rt^G — 3A2,
Cela posé, soient ^-^ g^ les invariants analogues à A, C, mais relatifs aux formes
m. m — 1 \ âx^ àx dy ôy'^
m. m — i .m — i.m — 3 \ àx'* ' ôx-^ dy dx^ dy^ ' dx dy'^ dy^ / \ ' / et h et h' les quantités
;^ T /à^ dl d^df^
{m — 2) \dx dy dy dx
h'= ■ /^ ^ ^ ^' if) ,
ini^ni — 4 ) \ ^-^ dy dy dx /
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on aura ces expressions des premiers covariants associés de /, savoir :
Gela résulte immédiatement de ce que leurs termes les plus élevés en X ont précisément pour coefficients les quantités
cP2(— ^, a), (p3(— Z>, a),
Mais je ne m'arrêterai pas à le vérifier, m'étant seulement proposé de faire voir comment viennent s'offrir, dans ma théorie, les covariants auxquels M. Sjlvester a donné les désignations de Hessiens ou à'' É manants , et qui ont été nommés précédemment g^ g' .
Division en ordres des formes cubiques.
D'après ce que nous avons dit en commençant, le point de départ de cette théorie de la division en ordres est la recherche complète de tous les covariants des formes cubiques. Nous allons nous en occuper en nous fondant sur les propositions générales précédemment établies.
Soit la forme proposée
/r- (a, b,c, d){x,yy]
on trouvera d'abord pour ses covariants associés, y4 étant identiquement nul, les expressions
Afin d'introduire par la suite ig au lieu de g^ nous écrivons et nous aurons ces valeurs
g^\rt{h^—ac), bc — ad, ^{c'^ — bd)]{x, yY
— 3 abc -+- a^-d, b'^c -^ abd-- lac'^, c-b -^ ib'^ d — acd^ — -2 c^ -h 3 bcd — ad^
iib'' — Zabc-\- a'^d, b'^c-^ abd-- lac'^, \ /
^= ( ^n^b-^o.h'^d—acd, —ic^A-Zbcd—ad^lK'^'^
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Cela posé, recherchons si d'autres covariants ne naîtraient pas, par exemple, du développement de
Or on trouve sans peine que
fa, b. c, d^ (^X - i - ^ Y, J.X + ^ g Xy =. (/, h, A/, A/^HX, Yys
A désignant l'invariant unique de /, savoir :
A = {bc — ad)^ ~ Mb^ — ac){c''-' — bd) = ^ac^ H- ^db'^ -h à^d'^ — 6abcd ~ '^b'^c-.
Ce sont donc encore f et h qui se présentent, mais accompagnés maintenant de V invariant A. Notre seconde proposition (§11) conduit ainsi à ces deux conclusions :
Tout covariant 6 de la forme cubique / est exprimable y soit de cette manière :
soit de la suivante :
les deux numérateurs étant des fonctions rationnelles et entières des diverses quantités qui y entrent, et les exposants \x et V étant entiers. Or, de là, il est facile de conclure que ^ peut également s'exprimer par une fonction entière de f., g^ h et A.
Pour établir la démonstration, j'observe d'abord que deux quelconques de ces trois quantités /, g.^ h peuvent être regardées comme entièrement indépendantes. On le voit en considérant un cas particulier. Soit, par exemple,
y = ip3 j j^3 .
on trouvera
g — — looy, h = X'' — y^ ;
quantités qui, envisagées deux à deux, ne peuvent être liées par aucune relation indépendante de x et y. Mais, entre /, g et /^
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une telle relation existe nécessairement et s'obtient en comparant les invariants des deux formes
(a, b, c, d){x,y)-^ et (/, o, - \fg, /h){X, Y)\
qui sont respectivement
A et ph^-lfkgK
Or, la seconde résultant de la première, par la substitution linéaire au déterminant y, qui donne naissance aux covariants associés à/", on trouvera
et, plus simplement,
(3) A/^-hl^-^=:/?,2.
(Cette équation a été récemment indiquée par M. Cajlej dans un Mémoire intitulé : Nouvelles recherches sur les covariants.)
Cela posé, j'observe que les numérateurs dans les expressions (i)
et (2) de 9 pourront être ramenés, en vertu de cette relation, à
contenir seulement la première puissance de A; ainsi, on pourra
écrire
n(/, g, h) = Dof/, g, \)-^hU,(f, g, A),
les nouvelles fonctions llo, IIi, ^07 ^i étant essentiellement entières en y, ^ et A.
Egalons maintenant les deux expressions du covariantÔ; il viendra
Or je dis qu'on devra avoir séparément
U) ^ no(y; ^^ ^) = ^ *o(/, ^, a),
Effectivement, s'il n'en était pas ainsi, on aurait entre /, ^, h une
équation essentiellement distincte de (3), contenant h au premier
degré seulement. Il serait donc possible, en éliminant cette quan-
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tité, d'obtenir entre / et g une relation indépendante de x et r ; contrairement à ce que nous avons précédemment établi. Or l'égalité (4), lorsqu'on a chassé les dénominateurs, prouve immédiatement que ÏIo est divisible par y>, et <!>,) par g"^ . Une conséquence toute semblable se tire de l'égalité (5). Ainsi nous avons ce théorème :
Tout covariant de la forme cubique proposée f est une fonction entière de f^ g^ h et de [^invariant A; le covariant h pouvant être regardé comme entrant seulement au premier degré dans cette fonction.
De là découlent beaucoup de conséquences sur lesquelles nous aurons à revenir dans la suite de ces recherches. En nous bornant maintenant à ce qui se rapporte à la division des formes cubiques, nous voyons que cette division peut être faite de trois manières différentes.
Soient, en effet, /*, /^, f\ . . ., /'^'^ les formes par lesquelles on peut représenter la totalité des classes cubiques différentes pour un même invariant A; à ces formes correspondront, d'une part, les covariants quadratùjues g^ g\ g" ^ ..., g^^' et, de l'autre, les co variants cubiques., h, A^, A/^ .... h^^K Cela posé, chacun de ces trois groupes de formes, que pour abréger nous nommerons (/), [g) et (A), pourra tout d'abord être individuellement divisé en ordres, en appliquant le principe de M. Gauss, tel que nous l'avons présenté (§1). Or, en réunissant dans le même groupe toutes les formes de (/), dont les covariants quadratiques appartiennent au même ordre dans (g)^ on obtiendra une seconde division en ordres de (/'), que nous dirons attachée à g. Et semblablement, si l'on prend pour point de départ la division en ordres de (A), et qu'on réunisse encore dans un même groupe les formes de (/), dont les covariants cubiques appartiennent au même ordre de (A), on arrivera à une troisième division en ordres de (/), que nous dirons attachée à Ji. De ces deux dernières d' visions, celle qui est attachée à ^ a la plus grande importance, comme nous nous réservons de le montrer dans un autre Mémoire. Elle sert de base, en effet, à la détermination complète du nombre des classes cubiques pour un invariant donné; recherche que M. Eisenstein a déjà traitée d'une manière aussi ingénieuse
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qu'élégante, mais seulement dans un cas particulier. Pour ce qui regarde la division en ordres attachée au co variant A, je ne puis la justifier que par l'analogie avec la précédente, car jusqu'ici je n'ai pas encore été amené à en faire usage, et à la caractériser par quelque propriété arithmétique particulière. Cependant, dans plusieurs circonstances, j'ai vu le covariant A jouer un rôle important, et j'en vais citer un exemple qui se rapporte précisément à la recherche du nombre des classes cubiques. Il est nécessaire, dans la méthode que j'ai suivie, d'obtenir l'expression analytique de toutes les formes pour lesquelles le covariant quadratique est le même. Or, /* désignant une forme déterminée dont le covariant quadratique est g^ toutes les autres qui auront le même covariant seront données parla formule (/ -h uh^ h étant le covariant cubique de /; t et u des constantes liées par la relation
Il me reste encore à indiquer comment les diviseurs communs des coefficients de/, g ou h dépendent de A. Or, en nommant X, [JL, V ces diviseurs, et remarquant que les invariants de /, g^ A, à savoir : A, A et A% sont respectivement des fonctions homogènes du quatrième, du deuxième et encore du quatrième ordre, des coefficients de ces formes, on voit immédiatement que
X^ est un diviseur de A, \L^ id. d,
v^ id. A3.
A ces relations il faut aussi joindre les suivantes :
X2 est un diviseur des coefficients de g, X3 id. h,
\i. id. i/i.
Les deux premières sont évidentes, et la troisième suit de l'équation
dx dy dy dx
dont le second membre contient le facteur troisy qui est amené
par les dérivées partielles ,^,f.
^ ^ ox oy
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Division en ordres des formes biquadratiques.
La recherche du système complet des covariants est le point de départ de cette question, comme de la précédente. Nous allons la traiter en nous proposant de mettre dans tout son jour l'analogie que nous avons reconnue à cet égard entre les formes cubiques et biquadratiques.
Soit, en conservant les dénominations de mon premier Mémoire,
/= (a, 6, c, 6', a'){x,yY
la forme proposée; ses covariants associés seront, d'après les formules générales données à la fin du § III,
i étant V invariant quadratique
aa' — ibb' -h3ci;
g et A, les covariants que nous avons déjà considérés, savoir :
g = [b^ — ac^ \{bc — ab')^ \ (3c"^— ibb' — aa' )^
\{b'c~a'b), b'^--a'c]{x, yY, h = (/?, q, r, s, r', q\ p'){x, yf,
en faisant pour abréger
p =z ib^ — '6abc-\-a^b\ 6q = 6b^c — gac^ -h Q.abb' •+- a^ a', ....
Gela posé, les covariants associés à g résulteront de l'identité suivante :
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qu'on vérifiera par un calcul un peu long, quoique sans difficulté, en réduisant les covariants à leurs premiers termes. Il en résulte que nous retrouvons les quantités y, g^ h accompagnées des deux invariants / et y". Ainsi la seconde proposition du § II conduit à ces conclusions :
Tout covariant 6 de la forme bicjuadratique f est exprimable, soit de cette manière :
soit de la suivante :
les deux numérateurs étant des fonctions rationnelles et entières des diverses quantités qui y entrent , et les exposants [JL, V étant entiers.
Je vais maintenant établir que 0 peut également s'exprimer par une fonction entière de/, ^, A, / et y. J'observe d'abord que /et ^ ne sauraient être liés par aucune relation indépendante àe x ei y\ comme on le voit en considérant le cas particulier de/=;r^ H-JK^? qui donne g = — x-y-. Mais une telle relation existe entre /, g et A, et a été établie dans mon premier Mémoire, savoir :
Or, on voit que les numérateurs, dans les expressions (i) et (2) de 9, pourront être ramenés, à l'aide de cette relation, à ne contenir que la première puissance de A. Ainsi on pourra écrire
Il(/,^,/.; i) =rio(/,^; .•,y)H-Ani(/,^; i,j\
*(/, gi ^^; i, i) = *o(/, ^; i-j) -^ à^iif, g', i, /),
les nouvelles fonctions Fl^,, 111, ^o^ ^m étant essentiellement entières en /, g^ i et y. Il suit de là, en égalant les deux expressions du covariant 0,
j- no(/, ^; i, J)^ j^ ni(/,^; i,j)
= Jç *o(/, é^\ i.j)-^ —^ *i(/^; ^',y);
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donc, achevant de raisonner absolument comme nous l'avons fait pour les formes cubiques, on obtiendra les équations séparées
desquelles il résulte que IIo et 11, sont divisibles par/f^; <Ï>q er <ï>4 par g^ . Ainsi nous avons ce théorème :
Tout covariant de la forme biquadralique /* p.v/ une fonction rationnelle et entière de f^ g^ h et des deux in^'ariants i,j\ le covariant h pouvant être regardé comme entrant seulement au premier degré dans cette relation.
Pour procéder maintenant à la division en ordres, il conviendra d'introduire, au lieu de g et A, (S g et (iA, qui ne contiendront aucun coefficient fractionnaire. La méthode que nous avons employée pour les formes cubiques donnera alors trois divisions différentes de l'ensemble des classes distinctes qui ont les mêmes invariants i et /. L'une sera directement déduite de la considération des diviseurs communs aux coefficients des formes qui représentent ces classes; les autres seront respectivement attachées à ^g et 6A. Mais, moins avancés dans l'étude arithmétique des formes biquadraticiues, nous ne pouvons encore, comme nous l'avons annoncé pour les formes cubiques, attribuer à aucune de ces divisions d'autres propriétés que celles-là mêmes qui leur servent de définition. Nous nous bornerons donc à la recherche des relations qui existent entre les diviseurs des coefficients des formes /, 6^', 6 A, et les invariants «, /, recherche qui exige plus de développement que dans la théorie des formes cubiques; car elle dépend de la détermination des divers invariants de 6g et 6 h. NoQS nous occuperons d'abord, à cet égard, de la forme ^", mais en nous plaçant à un point de vue plus général, afin d'en tirer occasion de présenter quelques remarques sur un beau théorème qu'a donné M. Hesse, et qu'on peut énoncer ainsi :
Soit F une forme biquadraticjue composée linéairement
en f et g^ savoir :
F = tf— ag,
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t et u étant des constantes ; si f on nomme G le covariant déduit de F, comme g de /, on aura
a' et t' désignant de nouvelles constantes.
Une nouvelle démonstration de ce théorème résulte d'abord immédiatement de notre proposition, que tous les covariants des formes biquadra tiques sont des fonctions entières de /, g^ h. Effectivement, la forme G, qui, comme on le voit aisément, est un covariant de /, doit être, comme cela se voit a priori, du quatrième degré en x et y. Or les seuls covariants du quatrième degré qui puissent résulter d'une fonction entière de /', g^ // sont des fonctions linéaires de f et g. G est donc, comme la forme F elle-même, une expression de cette nature. Cela étant, on trouvera, comme il suit, t' et u' au moyen de t et u. Nommons ï, J et H les quantités analogues à /, j et h pour la forme F. Entre ces quantités on aura la relation
que j'écrirai ainsi :
(4, O, —l I, --JKG, F)=^r=:H^
Or, on reconnaît immédiatement par l'expression de H au
1 ,, . , -M d¥ dG d¥ dG ,,
moyen des dérivées partielles -,- . -r- » -r- , -y- que 1 on a ^ ax dx dy dy ^
Nous pouvons donc poser
(4, G, -II, -JKG, F)3
== 112 == ( ta— ut'f h^ = {tu' - ut')-^ (4, o, — y, -.hig^ /)^
et, en observant cpie les équations
F= tf~ug, G = agt'f
donnent
wG-Hw'F /G-+-^'F
^ "" -777' TTJr ' ^ = tt.t"
(u' — ut' tu' — ut'
4, o, -|f, -J'kG, F)3
— {tu ~ ui Y \ \, o, — :- i, — / — ^- ,
^ V ^ '' \tu' — ut' tu— ut'
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cette dernière relation peut elle-même évidemment se ramener à la
suivante :
I ^ta'-ut'){^, o, -il, -JKG, F)3
f =:=(4,o, — \i, ^-j){tG -h t'F, uG -h u'Fy,
que nous allons traiter comme identique par rapport à G et F.
A cet effet, je désigne pour un instant par '^(t^ u) la forme cubique
(4, o, -^\i, --jT{t,u)K
On trouvera^ en égalant les coefficients de G^ et G- F, ces deux
équations :
,\{tu' — ut' ) — (:^(f, u)y
desquelles on tirera
dt du
T 1 du 1 2 dt '
expressions bien simples, comme on voit.
Mais notre principal objet est d'obtenir les invariants I et J, qu'il nous faudra tout à l'heure employer dans le cas particuliei' où F = 6^. Soient, dans ce but, y et ^ les covariants quadratique (^) et cubique de cp, savoir :
on trouvera, en employant les valeurs obtenues pour t' et u' ^
4,0, — -^,—7 /G -^¥,uG-\ f¥
3 ' -^ / V \'i du \i dt
42 ^/-' 43 car nous avons été amenés à faire usage précédemment de la substi-
( ' ) Ce covariant x ^st le covariant désigné par g dans Je paragraphe III et la moitié de celui ainsi désigné dans le paragraphe IV. E. P.
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tiitionqui donne naissance aux covariants associés. L'équation (3) devient ainsi, en remplaçant lii^ — iit^ par |-cp,
\ ? (4.0, - Ji, -j) (g, f)^^=. (^, o, -^^ ?x. ^?^) (g, f)'\
et l'on en tire
En particulier, si l'on suppose ^ = 0, w = — 6, afin d'obtenir F =6^, on trouvera
C'est là le résultat que nous voulions établir pour arriver à caractériser les nombres entiers, diviseurs des coefficients de ^g.
Nous allons maintenant procéder à une recherche analogue relativement aux coefficients delà forme 6 A. Cette recherche tout d'abord semble plus difficile; car nous ne possédons aucune proposition sur les invariants des formes du sixième degré. Mais il se présente ici le premier exemple d'un fait remarquable que nous verrons plus tard se reproduire dans bien des circonstances. La forme h possède, en effet, cette singulière propriété que tous ses invariants sont ou le discriminant, ou les puissances du discriminant de la forme biquadratique proposée /. Voici, je crois, la manière la plus facile de le démontrer. Imaginons que, par une substitution S, au déterminant luiy on fasse évanouir dans f les coefficients de x^ y et xy^ ^ de sorte que la transformée obtenue soit
F = (A, G, G,o, A'KX, Y)^.
Cette substitution, efi'ectuée dans A, donnera précisément pour transformée la forme H qu'on déduirait de F, par la même loi que h de f. Or on trouve ainsi
H = [0, ■|-A(AA' — 9C2), o, 0, 0, — |A'(AA' — 9G2),o](X, Y)6. Cela posé, un invariant quelconque de A, fonction homogène
de />, q^ /•, ,v, i\ q' ^ p' ^ ne changera pas de valeur en substiUiant à ces coeiTicienls ceux de la transformée H. Mais, par là, cet invariant devient une fonction homogène des deux seules quantités
A(AA'-9G2) et A'( AA' - gC'^),
et même une fonction qui ne doit pas changer par rapport à la substitution
en désignant par ÏC une constante quelconque ; il ne peut donc être que proportionnel à une puissance du produit
