IP

A ces relations il faut aussi joindre celles-ci^ qu'il nous suffira d' indiquer :

\~ est un diviseur des coeflicieuts de 6,.^. X3 id. 6//,

[JL id. 8/?.

Comme pour les formes cubiques^ la dernière résulte de C équation

dx dy dy dx

Je terminerai par une remarque qui ne sera pas peut-être sans importance au point de vue arithmétique, et qui se tire des formules que j'ai données pour le théorème de M. Hesse. Elle consiste en ce que le discriminant A est en facteur dans le covariant G, et les deux invariants 1 et J de la forme

Sur les covariants des formes du cinquième degré.

Il a été précédemment établi que tous les covariants des formes cubiques et biquadratlques s'expriment en fonction rationnelle et entière de deux d'entre eux, et de la forme proposée. Ces deux covariants fondamentaux ont, comme nous l'avons vu, une origine commune, et se trouvent dans le groupe des covariants associés à la forme primitive. Or cette propriété fondamentale n'existe

plus pour les formes du cinquième degré, et il devient alors impossible d'exprimer tous les covariants en fonction entière de ceux que nous avons définis comme associés à la proposée. Effectivement, les formules générales données à la fin du § 111 mettent en évidence ces quatre covariants associés, g^ g' ^ A, h' j dont voici les premiers termes :

h = (ib^ — 3 abc -\- a^ d) x^ -h . . , ,

h' = [ib (ae — /[bd -h 3c^) — a{ af — 3be 4- .i c^ )] ^^ -h . . . ,

la forme primitive étant supposée

f={a, b, c, d, e,/)(:r,jr)^

Or il existe au moins un covariant cubique qu^on pourra, par exemple, définir comme l'invariant y de la forme biquadratique suivante :

(t.1, ^'f ^ ^'f , ^'f , ^Vx yV,

\ dx^ ' àx'^ dy ' dx^ dy^ ' ùx dy^ * dy^ / \ ' / '

et qui ne pourra jamais s'exprimer par une fonction entière de/*, g^ g' ^ A, h' ^ qui sont respectivement des degrés 5, 6, 2, 9 et 5.

Il existe donc bien, au point de vue algébrique, un caractère important qui appartient exclusivement aux formes de degrés moindres que cinq; mais il j a, même pour ces formes, des propriétés qu'on doit regarder comme exceptionnelles, et qui peuvent véritablement les faire considérer comme des cas singuliers dans les théories générales. Ainsi, les formes cubiques ne possèdent point de covariants linéaires, qui se présentent pour toutes les autres formes de degrés impairs. Les formes biquadratiques n'ont pas non plus de covariants quadratiques qui se présentent, au contraire, pour toutes les autres formes de degrés pairs. Or, de là découlent, dans la nature de ces formes^ de profondes différences, que nous nous attacherons à apprécier et à faire ressortir dans la suite de nos recherches.

Paris, juillet i854.

Hosted by

SUR