LE NOMBRE DES RACINES D'UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE

COMPRISES ENTRE DES LIiVIfTES DONNÉES.

(Extrait d'une Lettre à M. Borohardl, Journal de Crelle, t. o2).

En poursuivant mes recherches sur le théorème de M. Sturm

j'ai réussi à traiter par les mêmes principes les équations à coefficients imaginaires, ce qui m'a conduit au théorème de M. Cauchj pour le cas du rectangle, du cercle et d'une infinité d'autres courbes qui sont même à branches infinies, comme l'hyperbole. La théorie des formes quadratiqties vient ainsi donner pour ces théorèmes des démonstrations indépendantes de toute considération de continuité, comme celle que vous avez déjà pu conclure vous-même de ce que j'ai dit au sujet du théorème de M. Sturm dans les Comptes rendus de l^ Académie {^) (iSo3^ l'^'sem., p. 294). La réduction d'une forme quadratique à une somme de carrés, qui a été le sujet de votre Mémoire sur l'équation dont dépendent les inégalités séculaires, joue le principal rôle dans mes recherches. Seulement, au lieu des substitutions où la somme des carrés des variables qu'on introduit est égale à la somme des carrés des variables primitives, je considère des substitutions réelles quelconques. On a alors cette proposition dont je donnerai une démonstration très facile, dans la suite des Mémoires sur les formes quadratiques que je destine au Journal de Crelle : De quelque manière que l'on fasse évanouir les rectangles d'une forme quadratique par une substitution réelle, le nombre des carrés qui se présenteront allectés de coefficients de mêmes signes, sera constant. Ce nombre est ainsi un véritable invariant pour l'ensemble des formes équivalentes par

(1) Voyez pajçe 284 de ce volume. E. P.

Hosted by

des substitutions réelles. Maintenant voici le premier théorème qu'il faut établir, pour traiter les équations à coefficients imaginaires.

Soient

n variables ima^j^inaires^ i désignant v^ — i, et

X(^ = X— ix\ Yo = r — iy, ..., \Jo=a — lu'

leurs conjuguées respectives; la forme quadratique suii^ante :

cp — Xo(ai,i X -f- ai,9 Yh-. . .-4- ai,,iU)

Uo(<^«,iX -i- a,i^2^ -

-««viU)

sera évidemment réelle en mettant en évidence x^ y, . . ., u] x' . y' ^ .. ., u' ^ si tes constantes a^^v et a^^^ sont des quantités imaginaires conjuguées, ce qui suppose réelles a,,, , ^2,2, • • -^ Cin.n-

Sous cette condition nommons A,, A2, A.{, ..., Ln les déterminants qui suivent :

Tous ces déterminants sont réels, car ils se reproduisent en mettant les colonnes horizontales à la place des colonnes verticales, ou av,u, au lien de a^^^,] ce qui revient à changer dans les éléments y/ — I en — y/ — i . Cela étant, si l'on fait évanouir les rectangles de la forme cp par une substitution réelle, le nombre des carrés qui se présenteront avec des coefficients positifs sera double du nombre des termes positifs de la suite

Hosted by