NOMBRE DES RACINES DUNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE
et le nombre des carrés inultipliés par des coefficients négatifs sera le double du nombre des termes négatifs de la même suite. On voit par ce théorème que les formes telles que o se comportent comme des formes à un nombre d'indéterminées moitié moindre, ce qui est surtout important pour F Arithmétique, comme je l'ai démontré dans la théorie nouvelle dont j'ai fait dépendre la décomposition des nombres en quatre carrés. Mais la considération de ce genre de formes me semble également indispensable pour arriver au théorème suivant, qui est un théorème fondamental.
Soit
F(z) = Az"- -h B^^-i -+-. . .^ K^ -i- J. r= o
une équatioti dont les coejjlcienis sont des quantités imaginaires quelconques, et a^ ^^ c, . . ., k ses racines ; nommons Aq, Bo, ..., iv,,, Lo les quantités conjuguées de A, B, ..., K, L, et
posons
Fo(^) = Ao^'' + Bos''-^ ^-...-^- Ko^-^ U..
La forme quadratique suivante :
( X H- a y H- . . . + a'^-' ii )'^
Fo(a) P'C.a)
(x -t- by -H. . .+ ô^'"^ u)'^
fonction symétrique des racines a, 6, . . ., /r, sera toujours réelle, et jouira de cette propriété que, si l'on fait évanouir les rectangles, le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des racines «, 6, . . ., A", dans lesquelles le coefficient de i sera positif, et le nombre des carrés affectés de coefficients négatifs égal au nombre des racines dans lesquelles le coefficient de i est négatif.
Pour le démontrer, je vais introduire, comme plus haut, les indéterminées imaginaires conjuguées
X = X ^ ix' , Xo = X — ix'^ Y = y ~\- ir\ Y^ = y — ty\ . . . ,
U = ?/ -H iu\ Uo = w — lu' ,
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et en posant, pour abréger,
e(a)=:X-i-aY-H...-4- a'^-iU. eo(a) == Xq -h «^ Yq -i-. . .-h a''~i Uo,
je considérerai la nouvelle forme
En désignant par cp' ce que devient cp, lorsqu'on met x' ^ JK^ • . ., ^/' au lieu de x^ y^ . . ., a, on aura évidemment
mais il sera beaucoup plus facile de raisonner sur cette forme ^ qtie sur cp, qui contient un nombre d indéterminées deux fois moindre. Pour démontrer en premier lieu la réalité des coefficients, je remarquerai que les racines de l'équation
Fo(^)= o
seront les conjuguées «o, 60, ..., k^ des racines de la proposée: de sorte qu'on aura, par la décomposition en fractions simples,
e(a) __ e(ao) e(6o) e(/ro)
d'où cette expression de <ï>, savoir ;
F'(a) [(a-ao)F;(ao) (a - /??o) F^ (^o) '** (« — A-o) F; (A-o)J
le^jb) r e(ao) e(^o) , e(;^o) 1
"^ F'(^) L(6-ao)F;K)"^(6-6o)F;(6o)""-*- (6-X:o) F;(â-o)J H-
"^ F'(/0 [(/c-ao)F;(ao) (k-ôo) F',{bo)'^ " ' lk-k,)F',(k,)y
Or, en réunissant les termes contenus dans une même colonne verticale, on trouvera de suite
F(ao)F;(ao)
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ce qui est bien l'expression primitive, dans laquelle on a changé -h / en — i.
Ce premier point établi, je fais la substitution suivante :
5 et Ço7 '^j et 7]o, . . ., ^ et Uq étant des variables imaginaires conjuguées. De là résultera évidemment une substitution toute réelle, entre les éléments réels des indéterminées X, Y, . . . , U et Ç, ri , . . . , u, puisque le système des équations posées ne change pas en mettant — i au lieu de -f- i. Ainsi, lorsqu'on fait évanouir les rectangles, le nombre des coefficients des carrés qui ont un signe donné sera le même pour la forme <ï> et la transformée en ?, r^, . . ., u, savoir :
^ = iU
■l'TiQ
a — «0 a — 6>o h — ao b — ^0
'"^ b-ko
\k — ao
Or il est facile d'appliquer à cette transformée le théorème I, et d'obtenir le terme général de la suite
Al, — ? T-J
Je considère pour cela le déterminant ^^ relatif aux m premières variables et aux racines a^ b, . . ., /^ g; le rapport de déterminants , "^ - sera la valeur de — qu'on tirera des équations linéaires
A,n-1 fJ. ^ ^
g-—ao g — b^
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dans l'hypothèse particulière que les seconds membres, à l'exception de [JL^, soient nuls.
Or, on satisfait à ces équations de la manière suivante :
Soit
n(z) = {z~a)(z~ b). ,.{z — g), no(^) = (s — «o) {z — bo).. .{z — ^o), on fera
^ Q(ao) r rno(a) T/U,(b) IJ-'Upis^) 1
'"^ U',{bo)[{b,-a)U'{a) (bo-b)n'(b) '" (b,-g)U'(g)y
ce qui donnera de suite, pour le cas particulier qu'on a en vue,
;i.-n(^o)no(^) (^o-^)n;(^o)n'(^)'
donc
quantité qui a précisément le signe du coefficient de i dans la racine g. Ainsi, les coefficients des carrés dans la forme W^ ou dans la forme <ï>, lorsqu'on aura fait évanouir les rectangles, offriront un nombre de termes positifs et de termes négatifs double du nombre des termes positifs et négatifs de la suite
i{ao — a), i{bQ~b), ..., iÇko — k);
donc, à cause de la relation <ï> = cp -j-ç^, le nombre des coej/îcients des carrés qui offriront un signe donné, lorsque on fera évanouir les rectangles dans la forme cp, sera égal au nombre des termes, ayant ce même signe, dans la série des coefficients de i des racines a^ b^ ...,/:.
Les résultats précédents sembleront sans doute inapplicables dans la pratique, à cause de la difficulté d'évaluer les fonctions symétriques des racines qui se présentent pour les coefficients de
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la forme quadratique cp. Mais ce n'est là quHine difficulté apparente, comme vous allez voir. Reprenons l'expression
(^-h ajK-i-. . .H- a'^-'^uY,
Fo(a,)F'(a)
et faisons la substitution suivante, que m'a suggérée la notion des formes adjointes, telle que je l'ai indiquée dans une de mes Lettres à M. Jacobi (^ ) [Journal de C relie, t. 40, p. 203 et suiv.) sur la théorie des nombres.
Posons
\ d<ù \ d^ T û^cp
2 d.T 2 «ijK 1 du
Un calcul extrêmement simple montre que, si l'on désigne par
ce que deviennent les quotients
quand on y remplace z^ par z^^ on obtiendra la transformée
Or cette transformée, qu'on peut substituer pour notre objet à la forme C5, s'évalue immédiatement et sous forme explicitement réelle, au moyen des coefficients de l'équation proposée
Considérez pour cela l'expression
Y Fo(^) F(^) ¥{z') Zd F'(a) z — a z'—a'
OÙ z et z^ sont deux variables distinctes ; elle se transforme succes- (1) Voir p. i37 de ce Volume. E. P.
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sivement de la manière qu'expriment ces relations, savoir :
^¥\a) z — a z'—a ^ ' ^ ^ jLà ¥'{a) {z ^ a) {z' — a)
F(^)F(^') VFo(a) / I I
F(z)F(z') [F,(z) Fo(z')
Lf(^) F(z')\
z'—z lF{z) F(;
F(^-)Fo(^) — F(^)Fo(^-)
Ainsi la transformée £ sera ce que deviendra l'expression évidemment réelle
,F(^OFo(^)-F(^)Fo(^-) — i ,
quand, après avoir effectué la division, on remplace successivement
z^, z\ z^, ..., ^"-1, puis
z'(^, z'\ z"^. ..., ^'«-1, par
-^Oj ^i5 ^2^ ■ • ' ■> ^n-\'
Soit, par exemple,
F(^) = az'^ 4- è^ -h c H- i{a' z""- -i- b' z -f- c') ; on trouvera
1 F(y)Fo(^)-F(^)Fo(^') ,.,.,,,,, ,,, , ., ., - ; = iao — ba )zz 4- (ac — ca)(z-\-z ) -\-bc — cb
et, par suite, cette expression de i :
\£ = i^ab' — ba')z\ -f- '?.{ac' — ca') ZqZ^ -{- {bc' — cb') zl.
Cette méthode pour obtenir la forme £ et les rapports de cette forme avec les racines de l'équation F(^) = o étant bien établis, voici les premières conséquences à en tirer.
Soit <E> le coefficient de i dans l'expression cq(^ -f- (y), où o est une fonction rationnelle à coefficients réels ou imaginaires. Si l'on considère x el y comme deux coordonnées rectangulaires dans un
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plan, l'équation <ï> = o représentera une courbe, relativement à laquelle nous distinguerons dans ce plan deux régions différentes. Je dirai que les points dont ces coordonnées substituées dans la fonction <ï> la rendent positive occupent la région positive, et que ceux qui la rendent négative occupent la région négative. Gela posé, représentons géométriquement chacune des racines imaginaires a, 6, . . ., k par un point dont l'abscisse et l'ordonnée seraient la partie réelle et le coefficient de i de cette racine, on pourra déterminer combien de points ainsi obtenus se trouvent dans Tune ou l'autre des régions que nous avons définies. En effet, si l'on élimine z entre les équations
l'équation en u aura pour racines
ainsi la forme quadratique, déduite de cette équation, conduira à déterminer le nombre de ces racines, dans lesquelles le coefficient de i a un signe donné, et par conséquent le nombre des racines <2, ^, . . ., A", de l'équation proposée qui occupent la région positive ou négative, relativement à la courbe <ï> = o. Soit, pour premier exemple,
les coefficients de i^ dans les racines de l'équation en u^ nous conduisent alors au nombre des racines de l'équation proposée
qui sont renfermées dans l'intérieur d'un rectangle, ayant ses côtés parallèles aux axes coordonnés. Désignons par Tr(^,Yj) le nombre des termes positifs contenus dans les coefficients des carrés après l'évanouissement des rectangles, lorsqu'on opère sur la forme quadratique relative à l'équation en u ; l'expression
représentera précisément le nombre de ces racines qui sont contenues dans le rectangle, ayant pour coordonnées de ses sommets les points
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En efiet, si l'on représente Tune quelconque des quantités a^ b^ . . ., /: par x + iy^ le coefficient de i dans les racines de u sera i^x — V){y — 'fi)-, donc 7i(Ç, ri) sera le nombre des quantités x^ y^ contenues dans les deux angles opposés par le sommet, ayant les côtés parallèles aux axes coordonnés, et pour l'origine le point X =z^^ y z=i-r\^ l'un de ces angles ayant ses côtés parallèles aux directions positives des axes. La différence
représentera, dans l'intérieur des deux parallèles,
l'excès du nombre des racines, dans lesquelles y est >> yj, sur le nombre des racines dans lesquelles jk est <^'/], si l'on a toutefois io <C i? ^t, l'on en conclut de suite la formule ci-dessus, en considérant une nouvelle ordonnée 7)o <C '/^, et retranchant les deux différences
Si nous prenons, en second lieu,
la forme quadratique relative à l'équation en u donnera le nombre des racines qui sont dans l'intérieur, et le nombre des racines qui sont à l'extérieur d'une hyperbole équilatère, placée dans le plan d'une manière quelconque. Enfin, nous remarquerons les propositions suivantes :
i^ Soit '^ÇÇ) te nombre des termes positifs contenus dans les coefficients des carrés, pour la forme quadratique relative à V équation
la différence TziJ^) — iz{Z,q) sera le nombre des racines a^b^ ...^k^ dans lesquelles le coefficient de i est entre les limites Ç, ^q.
1^ L^ expression semblable î^(s) — '^(Co)? relativement à l'équation
¥(X— iz) = 0,
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