NOMBRE DES RACINES D UNE EQUATION ALGEBRIQUE. 4O

donnera Le nombre des racines dont les parties réelles sont entre les limites î^, so«

3^ Relativement à Inéquation

Tu(Ç) sera le nombre des racines dont le module est moindre que ^.

En général, on trouvera le nombre des racines contenues dans l'intérieur de courbes fermées, si la fonction co est le quotient de deux polynômes du même degré.

La forme quadratique

2^ Fo(a)F'(a)'

composée avec les racines a, 6, . . ., /c de l'équation

F(^) = o, où

6(a) = a? -I- ay -h. . .-f- a'^-i m,

et qui m'a conduit sans aucune considération de continuité auij cas précédents du théorème de M. Cauchj, est susceptible d'une transformation remarquable, par laquelle nous allons retrouver les énoncés mêmes de l'illustre géomètre. Soit

Y{z)^pf{z)^p,f,{z), ¥,{z)=^qf{z)-rqj,(z),

p-) Pi, q, q\ étant des constantes quelconques, telles cependant que les degrés de F et/" soient égaux.

Nommons a, ji, . . ., x les racines de l'équation y(^) = o, et re-

présentons par co le déterminant équation

je dis qu'on aura cette

Fo(a)F'(a) ^ ¥,{b)¥' ib)^ " '^ ¥,{k)¥\k)

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4o8 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

Désignons respectivement par es et o les deux formes

par A et A' leurs invariants, par y^ et -^^ leurs formes adjointes.

Comme je l'ai remarqué dans une de mes Lettres à M. Jacobi, sur la théorie des nombres, les invariants de -^ et /^ seront A'^"'^ A^'^"^, et leurs formes adjointes : A'^""^^ q^ A''^~-cp^ Cela posé, et d'après la définition même que j'ai donnée des formes adjointes, les formes j-, ^, sont représentées, en vertu du théorème IV, par les expressions symboliques

F(z')F,(z)-F(z)F,(z') ^^ f{z')Mz)-f{z)f,(z')

Or les relations

F{z)=pf{z)^pyf,{z), F,(z) = qf(z)^q,f,{z)

font voir que la première est le produit de la seconde multipliée par le déterminant co. Ainsi, nous avons déjà

De cette équation identique on conclut d'abord, en égalant les

invariants des deux formes ^ et co ^, >

= o)'^ — ■ — OU A' = co'^A.

En égalant ensuite les formes adjointes, il vient

A'^-2© A'"— 2çp' m ^'

'- ~ w'^-i ^ ou - = to'^-i -^

et, par suite,

(1) Remarquez que ^ = k^¥^{a)¥^{b) . . .¥,,{k); c'est donc la fonction qui provient de rélimination de z entre F(^) = o, Fo(^) = o. On peut l'obtenir sous

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Je vais faire usage de ce résultat, en supposant

F{z)=f{z)-^if,{z), ¥,{z)=f{z)-if,{z).

/et fi étant des fonctions réelles dont la première soit de degré n, condition qu'on peut toujours remplir en multipliant, si cela est nécessaire, F par une constante imaginaire. Dans ce cas, l'identité

^- F,{a)F'{a) '^ ¥,(b ) F'{b) ^ " ' Fo{k)F'(k)

~2L/i(^)/'(^)^/i(P)/'(fi)"^'*'"^/i(^)/(>'oJ'

où a, p, . . ., X sont les racines de l'équation réelle f{z) = o, conduit à ces théorèmes ( ^ ) :

Nommons, pour abréger, tt et v les nombres de termes positifs et négatifs que présentent les coefficients des carrés de la forme cp, après l'évanouissement des rectangles. D'après mon théorème fondamental, TT sei^a le nombre des racines de V équation F(:3)== o, dont le coefficient de i est positifs et ^ le nombre de ces racines dans lesquelles le coefficient de l est négatif.

Or ces deux nombres vont recevoir une acception nouvelle.

La variable z croissant de — oo à -f- oo, tt sera le nombre de

f(z) fols où le rapport "i passe en s^ évanouissant du positif au

négatif j plus le nombre des couples de racines Imaginaires de r équation f[z) = o, et v le nombre de fols où le même rapport passe en s' évanouissant du négatif au positif, augmeiïté encore du nombre des couples de racines Imaginaires de la même équation.

Supposons en premier lieu les racines a, jîi, ..., x, toutes réelles;

forme de déterminant, puisque — est l'invariant de la forme représentée symbo-

F(^') V\{z)~ F{z) F,{z') liquement par — ^ — ' "^ ^, ^^ ' "^ — •

( ^ ) La fonction désignée ici par cp diffère par le facteur i de la fonction désignée plus haut par la même lettre. E. P.

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4lO ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

on pourra faire évanouir les rectangles de tp par la substitution

H^) y Ml -Y lilL-v

ce qui donnera la transformée

Or^ en s'évanouissant par exemple pour z = ol^ le rapport "j — -

passera, pour des valeurs croissantes de la variable, du négatif au

positif, ou du positif au négatif, suivant que la quantité ' - sera

positive ou négative; ainsi, dans ce cas, les nombres tt et v ont bien la signification indiquée.

En second lieu, supposons la présence des racines imaginaires, et soient par exemple a et p deux racines conjuguées. Relativement à ces deux racines on fera

ce qui donnera

Ainsi, en général (toutes choses égales d'ailleurs), deux racines imaginaires conjuguées donnent lieu à la différence de deux carrés, lorsqu^on fait évanouir les rectangles par une substitution réelle j ce qui donne bien la signification attribuée aux nombres ti et v.

On en conclut que la différence tu — v sera l^ excès du nombre

f(z) de fois où le rapport "^ passe en s^éK>anouissant du positif

au négatif, sur le nombre de fois ou ce rapport passe en s^ évanouissant du négatif au positif ,

Ce sera donc l'indice intégral

T+-/if),

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NOMBRE DES RACINES d'uNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE. 4ll

qui représente par suite la différence entre le nombre des racines de l'équation F(^) =. o, dans lesquelles le coefficient de i est positif, et le nombre de ces racines, pour lesquelles ce coefficient est négatif. Cette remarque, faite déjà par M. Sturm dans son Mémoire sur le théorème de M. Cauchj, a les conséquences que nous allons indiquer.

Considérons une courbe fermée C, rapportée à des axes rectangulaires, et dont les coordonnées s'expriment par les formules

les fonctions y^, cp, o^ étant entières. Je supposerai qu'en faisant croître t depuis — oo jusqu'à -h oo, on obtienne, en revenant au point de départ, tous les points de cette courbe. Cela étant, j'observe que le théorème de M. Cauchj, pour un contour quelconque, est évident lorsqu'on l'applique à l'équation ^ = o.

Il suffit, en effet, d'un peu d'attention pour reconnaître qu'en suivant la courbe C, toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'on revienne au point de départ, le rapport - passera, en s'évanouissant, autant de fois du positif au négatif que du négatif au positif, si l'origine des coordonnées est en dehors de la courbe. Au contraire, si l'origine se trouve dans son intérieur, ce rapport passera en s'évanouissant, deux fois de plus du positif au négatif que du négatif au positif.

Cela posé, un simple changement d'origine, en rapportant la courbe à de nouveaux axes, passant par le point

permettra d'étendre le théorème de M. Cauchy à l'équation

De là résulte que nous pouvons immédiatement déterminer l'indice intégral relatif à toutes les équations imaginaires de la forme

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4l2 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

et, par suite, l'excès du nombre de leurs racines dans lesquelles le coefficient de i est positif, sur le nombre de leurs racines dans lesquelles ce coefficient est négatif, cet excès étant zéro ou deux, suivant que le point ^ = a, j/ = [3 est extérieur ou intérieur à la courbe C.

Gela posé, faisons dans l'équation proposée

en appliquant ce qui précède au résultat de cetle substitution dans chacun des facteurs simples z — a^ z — 6, . . ., s — /:, de F(^), on arrive à cette proposition :

Ll excès du nombre des racines de i^ équation

dans lesquelles le coefficient de i est positif, sur le nombre des racines dans lesquelles ce coefficient est négatif, est égal à deux fois le nombre des racines a, 6, ..., k de V équation F(^) = o, qui sont renfermées dans V intérieur de la courbe C. Ainsi, en désignant par \x ce nombre, et en nommant P e^ N /e nombre des termes positifs et négatifs qui se présentent dans la forme quadratique relative à Véquation en t, lorsqu'on a fait évanouir les rectangles, on aura la relation

Voilà où je me suis arrêté dans l'étude de cette découverte si belle et si grande de M. Cauchj. J'ai été amené à cette étude en grande partie par des recherches sur des questions arithmétiques, qui, depuis l'année 1847, ^^^ appelé mon attention sur les formes quadratiques composées d'une somme de carrés de fonctions semblables des racines d'une même équation. Aussi ai-je éprouvé une véritable satisfaction à rattacher à la considération de ces formes ces magnifiques théorèmes de M. Sturm et M. Cauchj, qui ouvrent l'ère nouvelle de l'Algèbre moderne. Sous ce nouveau point de vue, d'ailleurs, le fait de l'existence d'une infinité de systèmes de fonctions jouissant des mêmes propriétés pour la détermination des

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NOMBRE DES RACINES d'unE ÉQUATION ALGÉBRIQUE. 4'3

nombres des racines réelles ou imaginaires, qui sont comprises entre des limites données, se présente dès les premiers pas et d'une manière qui en fait mieux saisir le caractère et l'importance.

Parmi les formes variées dont le théorème de M. Sturm est ainsi susceptible, la suivante me semble la plus simple :

Soit r équation pr^oposée

Nommons f^ la dérivée de /, et désignons, comme précédemment, par 'n:(Ç) le nombre des termes positifs de la forme quadratique qui a pour expression symbolique

(z - Z)f(z')f (z) - jz'- l)f{z)Mz')

lorsqu^on a fait évanouir les rectangles ; le nombre des racines réelles comprises entre deux limites t, et î^q sera

^(0-7r(ïo).

Une analyse particulière m'a donné, pour la détermination du nombre total des racines réelles et imaginaires, cet autre théorème :

Soit, sous forme homogène,

u =f{^^ y) le premier membre de Inéquation proposée du degré n. Posons

Wo =/(^o,ro) et considérons U expression

I / du duQ du duQ \

xyo — ^0 JK \ ^^^ dyo dy dx^ J

En remplaçant, la division faite,

d^une part, et de l'autre

respectivement par X, Y, . . ., V, oa2 obtiendra une forme qua-

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4l4 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

dratique {u)\ et, relativement à cette forme^ la quantité désignée précédemment par iz — V sera le nombre total des racines réelles de V équation ^/= o, moins une unité.

Soit u' ce que devient u par la substitution

les deux formes quadratiques {u) et [u') seront équivalentes, et si l'on nomme X^, Y^, . . ., V^es indéterminées de {u')^ la substitution pour passer de l'une à l'autre s'obtiendra par l'identité suivante :

(X, Y, ..., V)(a7,jK)«-'^ = (X', r, ...,V')(X^-+-Xoj, ^x-^^,yY-\ où, d'après l'excellente notation de M. Cayley,

(X, Y, ..., V)(^, jKy^-2 = Xa7«-2-t- !!—12l Y^«-3y H-...-+-Vjr''-2.

Hyères, 28 janvier i854.

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