ET D'UN DISCRIMINANT DONNÉS
(Extrait d'une Lettre à M Borchardt, Journal de Crelle, t. 53.)
Permettez-moi, en continuant en quelque sorte ce que je vous ai écrit au sujet de la détermination des racines imaginaires des équations algébriques, de vous entretenir des questions arithmétiques auxquelles je songeais, lorsque chemin faisant j'ai été ainsi amené aux théorèmes de M. Cauchy et de M. Sturm. Ces questions arithmétiques avaient pour objet la théorie des nombres complexes, et en particulier l'étude des formes décomposables en facteurs linéaires, lorsque les coefficients sont des entiers de l'espèce a -\- h\l — I. Pour le cas des entiers réels, la réduction des formes quadratiques définies avait été, comme vous savez, l'instrument analytique que j'avais surtout mis en œuvre; mais, pour passer de là aux nombres complexes, il fallait à ma méthode une modification que j'ai été bien longtemps à découvrir. C'est le hasard en efTet qui me l'a donnée, en traitant de la décomposition des nombres en quatre carrés, sous le point de vue que j'ai indiqué dans le Tome 47 de ce Journal. Je vais essayer de vous en donner une idée précise en démontrant le théorème que j'ai eu déjà occasion d'énoncer dans une note de mon travail sur la théorie de la transformation des fonctions abéliennes :
Les racines de toutes les équations à coefficients entiers complexes, d'un degré donné, et pour lesquelles le discriminant {déterminant de Gauss) a la même valeur, ne représentent qu^un nombre essentiellement limité dHr rationalité s distinctes (^).
(^) Comme le rappelle M. Hermite, ce théorème a été énoncé par lui pour la
Hosted by
4l6 ŒUVRES DE CHARLES H ERMITE.
J'aurai, pour cela, deux points principaux à établir. Le premier consiste dans la théorie arithmétique de la réduction de ces formes quadratiques à indéterminées imaginaires conjuguées que j'ai fait servir à la démonstration du théorème de M. Cauchj. En désignant par ^, j^, s, ..., r, /z 4- I indéterminées imaginaires, et par ^o? jKoj ^0 7 • • -7 ^'o leurs conjuguées respectives, elles sont, comme vous savez, définies de cette manière :
/"= x^iao^o^ ^- <^o,i7 + <^o,2 -s -h. . .M- «0,/^ ^) -HjKo(«i,o^-^ <^i,iJK-f- «1,2^ -+-. . ,-f- ai,;i(^)
avec la condition que ajjt^v et av,fx seront des quantités imaginaires conjuguées. En mettant en évidence, tant dans les coefficients que dans les indéterminées, les parties réelles et les coefficients de y/ — i , la forme / sera si l'on veut un cas particulier des formes réelles k 2n -{- 2 indéterminées, mais qu'on traite, grâce au jeu des quantités imaginaires, par les procédés essentiellement propres aux formes à /? -h i indéterminées seulement. Sans insister davantage sur cette considération que j'ai développée ailleurs dans le cas de AZ = I , j'énoncerai les propositions algébriques suivantes qui, si simples qu'elles soient, doivent être au moins indiquées pour ne rien omettre dans l'enchaînement des idées. i"" En faisant, dans /, la substitution
^==aX + a'Y -h. . .-I- a^'^^V, j= PX -f- S'Y 4-... -4- p(«)V, z=vX -h y' Y ^. . .-{- f"^\,
So
ç = aX -h X'Y -+-.
Xo^ aoXo-4-a; Yo-h.,
..+ ai,")Vo,
jKo= PoXo+ ?>[) Yo-4-.
•■+|î'„"'Vo,
^0 — To -^0 -^ Yo ^0 + • •
•+Tl"'V„,
Po = ^0^0+ K ^0
première fois dans son Mémoire sur la transformation des fonctions abéliennes {voir plus loin p. 477)- Quant au théorème analogue relatif aux nombres réels, M. Hermile l'avait démontré antérieurement (p. 226 de ce Volume). E. P.
Hosted by
NOMBRE LIMITÉ D* 1 R RATION ALITÉS ^l^
OÙ a et ao, ^ et po? etc. sont des quantités imaginaires conjuguées, on aura une transformée de même nature :
F = Xo(Ao,o X -+- Ao,i Y -h Ao,2 Z -h. . .-h Ao,« V) -f- Yo ( Ai,o X -t- A,,i Y + Al, 2 Z -i-. . . H- Ai,« V)
H- Vo(A,,,oX-i- A,,,iY-+- A,,,2Z-h...H-A;,,,,Y),
de sorte que k.^^^ et Av,tx seront comme a^^v et rtv,{j. des quantités conjuguées.
1^ Soient D, d^ co, coo les déterminants des systèmes suivants :
'^ X X' . . , on aura l'équation
D — doiis
d'où résulte que d peut être regardé comme l'invariant de la forme /.
En vue de la théorie de la réduction, j'ajouterai cette remarque qu'en posant
«0,0 /—^ ^ = ro(^i,ir-^^i,2--^---+^i,/^t^)
OU
^[X,V= <^o,o«tx,v — «[J-,0^0,V?
oii obtient une forme aux indéterminées jk etj>^0 7 ^ et^y, ..., p et Co qui est un covariant de /, relativement à la substitution (S, So) quand on y suppose
Et si l'on appelle D^ l'invariant de g^ on aura
D':::=aÏ7o'D.
Hosted by
4l8 OEUVRES DE CHARLES HERMLÏE.
Cela posé, je vais établir qu'étant donnée une forme / définie, on peut trouver, pour les coefficients de la substitution S, des nombres entiers complexes, dont le déterminant w soit un, et tels que dans la transformée F on ait
(a) Ao,oAi,i...A,^,;^<2 ^~D.
Ce sera cette transformée que j'appellerai réduite, A cet effet, je considère l'ensemble des formes déduites de /*, par toutes les substitutions (S, So) à coefficients entiers complexes et au déterminant I. Je distingue ensuite, dans ces transformées, celles où le coefficient de XXo est le plus petit possible. Parmi ces dernières, je dis qu'il en existe une que je représenterai ainsi :
F = Xo(Ao,oX + Ao.i Y +. . .-f- k^^n^) H- Yo( Ai,oX -f- Ai,i Y -4-. . .-H Ai,,iV)
■ Vo(A,,,oX-i-A;e,iY-
et remplissant ces deux conditions : premièrement, que la forme dX dX,
-4- Zo(B2,l Y -+- B2,2Z +. . .4- B2,;.V)
-+-Vo(B,,,iY-f-B„,2Z-i-.
soit réduite dans le sens propre aux formes à n paires d'indéterminées ; secondement, que les parties réelles et les coefficients Je y/ — I dans les diverses quantités Ao,y. soient moindres en valeur absolue que la moitié du coefficient minimum Ao,o- En effet, en faisant dans F la substitution
^0= ^0-+- ïî^oPo + «o3o
, .-i-roVo,
Yo= m'oVo -Hnj3o
..-^r^iio,
Zq = m'o^o -f- no3o
Hosted by
NOMBRE LIMITÉ d' IRRATIONALITÉS . 419
on trouvera une transformée £, dans laquelle le coefficient de rr^^ sera encore Ao,o et où la forme é analogue à G, savoir
sera (d'après ce qui a été dit tout à l'heure) la transformée de G par la substitution :
.-Hr'xi.
Yo =^ K %
. .-l-r;iio,
Vo = m;,'^)p,
)H-nS,"^3o+.
..-+-r,/^^Vo.
Mais cette substitution est la plus générale entre les n paires d'indéterminées conjuguées, et peut être employée à réduire la forme (6; on voit donc bien qu'on peut admettre, dans l'ensemble des formes dont j'ai parlé, l'existence d'une transformée remplissant la première des conditions énoncées. Quant à la seconde, on j satisfait à l'aide des entiers complexes m, n, . . . , r, qui restent jusqu'ici arbitraires; en désignant, en effet, pour un instant, par ao,!x les coefficients de £ qui correspondent à Aq^jj,, on a les relations
ao,i ^ mAo,o-i- m'Ao,i^- m"Ao,2-^. . .-1- m^^'^ Ao,;„ «0,2= nAo,o -r- n'Ao,i -I- n"Ao,2 -i-. . .-}- n^^^^ Ao,«,
ao,7i=rAo,o -i-r'Ao,i -i-r''Ao,2 -f-. . .H- r^^^^Ao,^,
et l'on voit qu'on peut déterminer les entiers complexes m, tt, . . ., r, de manière que la partie réelle et le coefficient de y/ — i dans ao,i, «0,2? •••? «o,// soient au-dessous de ^ A^^o- Admettant donc l'existence de la forme F, remplissant les deux conditions précédentes, nous allons supposer que la relation (a) soit vraie à l'égard des formes réduites contenant n paires d'indéterminées et nous en conclurons qu'elle a lieu nécessairement dans les formes qui en renferment n-\-i. Elle se trouvera ainsi établie dans toute
Hosted by
sa généralité puisqu'elle a lieu comme je l'ai fait voir ailleurs (Journal de Crelle, t. 47) pour ;i =r i. A cet effet, j'observe que, les coefficients de la forme G ayant pour expression générale
on trouvera, lorsque les deux indices sont égaux,
de sorte que ces quantités peuvent alors être regardées comme les invariants de formes quadratiques à deux paires d'indéterminées
formes qui seront définies et réduites : définies, car nous avons supposé f et, par suite, F elle-même définie, et réduites, parce que le coefficient minimum Ao,o sera au plus égal à Ajj^^jj,, et que la partie réelle comme le coefficient de \/ — i dans A^^^o sont, en valeur absolue, au-dessous de la limite 4Ao,o- l^onc, d'après ce que j'ai établi dans le Mémoire précité, on aura
A 0,0 '^|x,a'^ 2l^[jL,{j.
et, par suite,
AJ,oAi,iA2,2...A,,,„< 2^^Bl,lB2,2...B,^,„.
Mais, en admettant la relation (a) pour les formes réduites G, qui contiennent n paires d'indéterminées et dont l'invariant est A'J~^ D^ on aura
Bi,iB2,2...B,,,;,<2 ^ Ai^,Vl);
or on en conclut, après avoir multiplié membre à membre par l'inégalité précédente et supprimé le facteur AJJ j^%
n(n-Jt-\ )
Ao,oAi,iA2,2. .. A„,,i< 2 2 D.
C'est ce résultat qui tout à l'heure me servira de base pour la théorie de la réduction des formes décomposables en facteurs linéaires, et qui sont à coefficients et indéterminées complexes. Mais j'indiquerai d'abord la conséquence suivante qui s'en tire immédiatement.
Concevons qu'en vue de la théorie des formes / telle que je
Hosted by
NOMBRE LIJflTE D I II R A TIONALITES . 421
l'envisage ici, on modifie l'idée arithmétique de classe^ de manière à désigner ainsi l'ensemble des transformées déduites d'une forme donnée, parées substitutions spéciales (S, Sq) lorsqu'on attribue aux coefficients tous les systèmes de valeurs entières complexes, pour lesquelles le déterminant (0 = 1, on aura ce théorème : La totalité des formes de la même expression analytique /, lorsqu'on les suppose définies ^ et à coefficients entiers tant réels que complexes, ne représente pour un invariant donné qu^ un nombre essentiellement limité de classes distinctes. Effectivement, dans la réduite F, tous les coefficients réels h.^.^^^ sont limités en vertu de la relation (a) et les modules des coefficients imaginaires Ajj^^v le sont par la condition
qui résulte, comme on le voit immédiatement, de ce qu'on suppose F une forme définie. On n'aura donc pour une valeur donnée de l'invariant qu'un nombre limité de réduites et, par conséquent, un nombre limité de classes.
Je passe maintenant au second point c[ui me reste à traiter pour arriver à mon théorème.
Soit cp une forme à n indéterminées imaginaires, x, y^ . , .^ u^ k coefficients complexes, et décomposable en n facteurs linéaires, savoir :
A — ax -{- a' y -^. . .-\~ a^'^~^^ u^
B — bx -^ b' y -\-, ..-4- b'^f^-'^Uc,
\jz= Icc -h l' y 4-... -H l^'^-'^hi, de sorte qu'on ait
cp^ AB...L.
Ces quantités A, B, ..., L ne se trouveront point complètement déterminées parla forme donnée cp, car il est clair qu'on peut multiplier par un facteur constant chacune d'elles, pourvu que le produit de tous ces facteurs constants soit l'unité. J'observe cependant que le déterminant A, relatif au système de ces fonctions linéaires, ne subira aucun changement par l'introduction de ces multiplicateurs arbitraires, car en remplaçant A, B, ,.., L, par /,A, ^oB, .,., /,iL le déterminant relatif aux nouvelles fonctions sera
f 1^2 ... tn^^
Hosted by
et l'on doit faire, comme nous l'avons dit.
Nous pouvons donc, désormais, regarder A comme absolument déterminé par la forme proposée c^. Cela posé, j'introduis encore les facteurs linéaires conjugués de A, B, . . ., L, qui seront, en suivant la notation déjà employée,
Bo == ^0 ^0 -H ^0 ro -i- • • • -^ ^("."^ ^ Wo,
^o-'^o-*- ^iro-i-...-H ^o'""^^?^o,
et dont le déterminant sera désigné par Aq. Puis je compose, avec ces deux groupes de fonctions, la forme quadratique suivante, de la nature de celles qui nous ont occupé précédemment, savoir
/== AAo-l- BB,-i-...-4-LLo-
Cette forme dépendra essentiellement des multiplicateurs arbitraires que l'on peut introduire dans les fonctions linéaires A, B, . . ., mais, quels cpie soient ces multiplicateurs, son invariant D sera la quantité entièrement connue
D - AAo,
de plus elle sera toujours définie, et l'on pourra lui appliquer la métbode de réduction exposée plus haut. Concevons donc que pour un système déterminé des facteurs linéaires A, B, . . ., L, on ait obtenu la substitution propre à effectuer cette réduction, et que je continuerai de représenter par la notation (S, Sq). En effectuant la partie de cette substitution désignée par S, dans A, ]^, ..., L, je supposerai qu'ils deviennent
iV = tt X + a' Y 4- . . . -f- a^'*-i' U ,
tandis que, par la substitution Sq, les facteurs conjugués Aq, Bq, ...,
Hosted by
