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Or, en multipliant ces équations membre à membre, il vient
jX-|lY-|...JU-j=[X«][Y-]...[U'']v/(aa,...a,,y';
mais, d'après la relation caractéristique pour les formes quadratiques réduites, et la valeur de l'invariant de F, que nous avons trouvé précédemment égal à AAq, on a
il en résulte donc que
ix«; ]Y^^[.,.]vn\ <[X'^][Y'^]...[U'^].2 ^ /ÂTo
et finalement, en avant égard aux limites des quantités [X'^],
;x-;!Y«i...SUM<^^ (aao)^".
\oici donc déjà les coefficients des puissances les plus élevées dans la forme <ï>, limités au moyen de l'invariant AAq. Et c'est en ce moment que nous employons la condition d'irréductibilité de cette forme telle qu'elle a été posée plus haut, de manière qu'aucun de ces coefficients ne puisse être supposé s'évanouir. N'ayant obtenu en eff'et qu'une limite de leur produit, dans le cas où l'un d'eux serait nul, on ne pourrait plus rien conclure sur les autres. Maintenant et à l'aide des valeurs de ces quantités : jX'^j, |Y'^|, ..., nous obtiendrons des limites pour les coefficients des autres termes, en déduisant des coefficients (i) et (a) la suivante
= [X/^Y7..,U-^] [X«] "[Y'^] «...[U^*] «v/((icri...c7^,)''
et remplaçant, dans le second membre, [X/^Y^...U*], [X'^], [Y'^], ... et le produit o-cr, ...a-,^, par leurs limites supérieures. Il vient ainsi, en désignant (/?, ^, ..., s) le coefficient de 1LpY^,.,U^ dans la puissance (X -}- Y -f-. . .+ U)'^ :
JXPY'?...U^j|X'^!''^jY-j'~''^...|U«;'""^<(/>,^, „.,s)^ (AAo)*^".
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Nous sommes ainsi parvenu à la proposition annoncée sur la réduction des formes décomposables en facteurs linéaires, et qui nous autorise à -donner, aux transformées telles que <ï>, le nom de formes réduites. Mon théorème sur les racines des équations algébriques à coefficients entiers complexes en est une conséquence immédiate, comme vous allez voir.
Soit
une équation de cette nature. En désignant ses racines par a, 6, c, ..., A", / le discriminant, ou déterminant de Gauss, sera le nombre entier complexe
Cela posé, faisons dépendre de cette équation une forme cp à coefficients entiers complexes, que nous définirons de cette manière :
cp = P'«-i(a7 H- ay -h a'^-z H- ... -h a'^-^ u) {x -i- hy -+- b'^z -\- ... -h h^^'^ u). . .
îNous remarquerons d'abord que, pour cette forme, la quantité A est précisément y^l. Soient, en effet,
A = 37 -h ay -h ... -h a'*-i m,
L = X -r~ ly -T-. . .-+- l"--^ Il ;
d'après sa définition même, A sera le produit de P'^~* multiplié par le déterminant relatif au système des facteurs linéaires A, B, ..., L. Or, on sait que ce déterminant est la fonction alternée égale au produit des différences des racines a, é, ..,, /, de sorte qu'on a bien A = ^B . Je dis maintenant que les racines de deux équations différentes, auxquelles correspondent des formes o, arithmétiquement équivalentes, doivent être regardées comme présentant les mêmes irrationalités. Soient, en effet,
et
^ = p^^-i (X -h a Y +. . . 4- tt''-i U) (X M- b V — . . . -4- b«-i U). . . x(X-t-lY-f-...-i-l'^-iU)
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une seconde équation, ayant pour racines a, b, ..., l, avec la forme correspondante. S'il est possible de déduire <ï> de cp, par une substitution à coefficients entiers complexes et au déterminant un, c'està-dire d'avoir identiquement C2 = <ï>, en prenant
;r = aX-!-a'Y-|-...-f- a^'^-^^ U,
?^, z= zX -H // Y -T- . . . -+• yS^^-^^ U,
on pourra, en désignant par /<, /o, ..., tn des constantes, poser les
relations
