X -\-ay -^, . .-T- a'^-'^u = ^i(X-t- ttY -^ . .-i- a""-iU

^-L. by~\~...-\-b'^~Ui =. t2(X4-liY -+-... -H b'^-iU),

Or, en effectuant la substitution et désignant pour abréger la fonction entière à coefficients entiers complexes a^^^-l-|B^^V-l-...+x^'V'^"* par 6/((^), ces relations donneront

Xer^O-^ Yei(a)+...-i- Ue;,,(a) = /i(X-MTY-f-...-l-a^'-^U), X0(è)-HYGi(Z^)-f-...-i-Ue^i(6) =/2(X-i-bY-i-...M-b«-iU),

xe(o -H Y0, (/)-+-... -H ue^i(/) ==ax-MY H...4-u^-iu).

On en conclura les expressions suivantes des racines a, b, ..., l par a, ^, . . ., /,

IT = -.■—, î II- =

0(a) 0(aj

et il est visible qu'en partant de la substitution inverse, pour déduire o de 4>, on arrivera à des expressions toutes semblables qui donneront les racines a^ b, , , .^ l^ Siu moyen de a, b, . . . , l. jNous sommes donc bien autorisé par là à regarder les racines des deux équations comme présentant les mêmes irrationalités.

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4^8 OEUVRES DE CHARLES IlERMITE.

Cela posé, considérons l'ensemble des équations de degré /?, ayant même discriminant, avec la série des formes cp, qui correspondent à chacune d'elles. Ces formes, en nombre infini, ayant toutes le même invariant AAq, à savoir le module du discriminant, seront réductibles à un nombre limité de réduites O. Or, les équations, dont les racines pourront présenter des irrationalités distinctes, seront celles-là seules auxquelles correspondent des formes ayant des transformées réduites différentes (^). Elles seront donc bien essentiellement, comme je l'ai annoncé, en nombre fini.

(^) En effet, des formes ayant même réduite sont arithmétiquement équivalentes, et il a été expliqué plus haut comment les racines des équations dont elles dépendent offrent dès lors les mêmes irrationalités. Voyez au reste, sur cette question de l'équivalence des formes décomposables en facteurs linéaires, mon premier Mémoire sur la théorie des formes quadratiques {Journal de Crelle, t. 47).

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