LINVARIABILITË DU NOMBRE DES CARRÉS POSITIFS

ET DES CARRÉS NÉGATIFS DANS LA TRANSFORMATION DES POLYNOMES HOMOGÈNES DU SECOND DEGRÉ.

(Extrait d'une Lettre à M. Borchardt, Journal de Crelle, t. 53).

Paris, ce 24 avril i856.

Dans le cas où vous le jugeriez convenable, vous pourriez

publier la démonstration suivante, du principe découvert par Jacobi, et employé par lui à la démonstration des belles formules pour les conditions de réalité des racines des équations algébriques, que vous avez données dans votre Mémoire sur l'équation à l'aide de laquelle, etc. Rien d'ailleurs n'est plus simple que d'établir ce principe que j'énoncerai ainsi :

Quelque substitution réelle que Von emploie pour réduire un polynôme homogène du second degré à une somme de carrés, le nombre des coefficients de ces carrés qui auront un signe donné sera toujours le même.

Supposons, en effet, qu'un polynôme homogène du second degré /, à /z + i indéterminées ^, JK, . . ., r, se réduise à Texpres- ' sion suivante

en faisant

X ■=^ olXq-\- CL Xi-^. , ,-^ a^«^^/i,

y^f^XQ-\-'^'Xi-\-.,.-^^^''^Xn, V =:\XQ-\~\'Xi-^...-\-\^''^Xn.

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43o ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

Si l'on donne une seconde substitution également réelle,

( V =lXo-\-rXi-^-...^Mx,, de laquelle résulte la transformation analogue

il s'agit de prouver que le nombre des coefficients e, qui auront un signe donné, sera égal au nombre des coefficients r,, qui auront le même signe.

A cet effet, et pour fixer les idées, supposons négatifs So? ^i? --v ^i et positifs les coefficients suivants : £/+<, £^+2? •••7 S/z- Supposons aussi que vio, -Qi, -..7 tj/^ soient négatifs, tandis que7)^j^, yi^+o? •••7 '^i/t seront positifs. On aura d'abord en égalant entre elles les deux expressions de la forme J\

£o^?-4- £l^f +...-4- en^fi= "iQoXg-t- V]iXf -T-. . .-^ r^n^h

les variables étant liées par ces équations

\ p:27o-+-P'^i4-...4-p^«^;r„=: dXo-\-b'Xi-r-..,-^bin)Xn, i • 5

( XxQ-hl'cci-h.. .~\-\^'^^Xj^r= IXo 4- rXi -{-... ~i- l'^'^Xn.

Avant d'aller plus loin, j'observe qu'on pourra toujours les résoudre par rapport aux indéterminées x ou X, si l'invariant de / est différent de zéro, et si aucune des quantités e et Tj n'est nulle. Soient, en effet, J l'invariant de f^^etd les déterminants relatifs aux substitutions (1) et (2); on aura

Sq Si . . . £,i = j 0^,

de sorte que 6? et Ô ne pourront jamais être supposés nuls sous les conditions admises.

Cela remarqué, remplaçons Xq^ ^<, ..., xi d'une part, ^^4.^,

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