INVARIABILITÉ DU NOMBRE DES CARRÉS POSITIFS
^i i 2 5 . . ., ^/^ de l'autre, par
^0 ^l Xi Xi^x 37 /+2 Xa
Remplaçons de même Xq, X^, . . ., X/^ par
Xo Xi X/,.
et X/^^^, XA4.2, ..., X,^ par
puis effectuons, par rapport à ces nouvelles indéterminées, la résolution des équations (3). On sera par là amené à la relation suivante
^0 X^ . • • Xi -X- ^/4-i -T- •2^f+2 "^ • • • "•" ^^l
— — X5 — X| — . . . — Xx- H- X/;+i -i- X/^.^2 -h ... H- X,7, où l'on pourra supposer
les coefficients étant essentiellement réels. Or, je vais établir l'impossibilité d'une telle relation dès que l'on suppose k différent de i. Pour fixer les idées j'admettrai que l'on ait k >> «, et j'observerai que, parmi les diverses équations auxquelles les coefficients de la substitution (4) doivent satisfaire, on voit s'offrir en premier lieu celle-ci
qui ne pourrait évidemment être vérifiée c[ue pour des valeurs imaginaires des quantités /;, si l'on avait
/?o=o, /^i = o, ,,,, Pi=o.
Or, on va voir comment de la substitution (4) il est possible d'en
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déduire une nouvelle, qui, transformant le polynôme
( '> ) ^(J d'i . . , X^ -f- ^'Z^. 1 -f- X/+2 -r- ' • '-h O^fi
en
(6) - X^ - Xf -. . .- XI- XL, -i- XL, Hn. . .--H XL
ait encore ses coefficients réels, et de plus présente ce caraclùrc, que Findéterminée Xo ait disparu dans les expressions des indéterminées ^0? -^1 ? • • -5 '^k-i • Gomme on suppose k >> /f, k — i sera au moins égal à i et, les conditions précédemment énoncées se trouvant réalisées, notre théorème se trouve par là même démontré.
A cet effet, nous remarquerons que l'on peut, sans changer le polynôme (6), y remplacer Xq et X, par
coscpXo-h sin^Xi, sincpXo — cosoXi
et introduire par là un angle arbitraire dans les formules (4), qui deviendront
^0 = {Po coscp H- ço sino)Xo-f- (po sincp — g^ coscp)Xi-t-. . . , ^1 = (pi coscp -i- qi sincpjXoH- (pi sincp — qi cos(p)Xi-f-. . . .
^n= (/?/i coscp -V- ^;j sincp )Xo-l- (pn sincp — ^,j coscp )Xi -i-
Maintenant et quels que soient les coefficients p et ^, etc. on pourra disposer de cet angle, de manière à avoir
Po cos o -T- <7„ sin cp = o,
et l'on sera amené à une nouvelle substitution également réelle,, où l'indéterminée Xq aura déjà disparu dans la valeur de a;^y. Cela fait, partons de cette nouvelle substitution pour y introduire de nouveau un angle arbitraire, en remplaçant X| et Xo par
coscpXi-i- sincp X.2, sinfpXj — coscpX,,
ce qui se fera encore sans changer le polynôme (6). On voit, en raisonnant comme tout à l'heure, que l'on pourra annuler le coefficient de X< dans l'expression de Xq, Or, des calculs analogues, pourront être continués, jusqu'à ce que l'on soit amené à remplacer Xa j et Xa par
coscpXA i4- sinfpXy^., sincpX/,.__i— cosf^X/,.,
