XXX PREFACE

nouveau d^approximations algébriques simultanées le conduisit à une de ses plus belles découvertes, je veux parler de la transcendance du nombre e, base des logarithmes népériens. Son point de départ, dans ce Mémoire célèbre Sur la fonction exponentielle, publié en 1873, est l'approximation simultanée d'u n certain nombre d'exponentielles de la forme (?''^ au moyen de fractions rationnelles; les difTérences entre ces exponentielles et leurs valeurs approchées sont représentées à l'aide d'intégrales définies, et ces approximations permettent d'établir, en faisante = 1 etensupposantcntiers les nombres a, que e ne peut satisfaire à aucune équation algébrique à coefficients entiers. On savait depuis longtemps former des séries représentant des nombres transcendants; Liouville paraît avoir donné le premier de tels exemples, mais ces nombres ne jouaient aucun rôle en Analyse. L'intérêt qui s'attache à un nombre aussi fondamental que e donnait, au contraire, un prix immense à la démonstration de sa transcendance. Quelques années après, M. Lindemann, en s'inspirant des études d'Hermite, démontrait la transcendance du rapport ti de la circonférence au diamètre ; en même temps se trouvait, par suite, établie l'impossibilité de la quadrature du cercle. L'étude de ces belles questions a été, dans ces dernières années, notablement simplifiée, mais les principes au fond sont restés les mêmes, et les démonstrations très simples que nous possédons aujourd'hui ont été suggérées par les méthodes d'Hermite.

Après son Mémoire sur l'exponentielle, Hermite continua ses recherches sur les fractions continues algébriques. On connaissait depuis Gauss le rôle des polynômes de Lcgendre

dans le développement de log en fraction continue, et

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préfach:. XXXI

les recherches de M. Heine et de M. Christoffel avaient montré les rapports de la théorie des fractions continues avec certaines équations différentielles linéaires du second ordre. Hermite étend tous ces résultats en montrant comment une certaine équation linéaire d'ordre n -{- i , généralisant l'équation de Gauss, se lie aux modes d'approximations simultanées dont il avait donné une application dans son Mémoire Su?^ la fonction exponentielle; il étend ainsi, pour ne citer qu'un exemple, le résultat de Gauss, en développant az logarithmes

de la forme log^— ^(/=:i, 2, ..., /i^ en fractions conti-

nues, ce qui le conduit à généraliser à un point de vue très intéressant les polynômes de Legendre.

Nous avons déjà eu l'occasion de dire que la théorie des fractions continues arithmétiques peut se généraliser de diverses manières. De même, la théorie des fractions continues algébriques peut être étendue dans des directions différentes. Le problème suivant paraissait à Hermite de grande importance et l'a souvent préoccupé : étant données n séries S<, So, . . ., S;^ procédant suivant les puissances croissantes de x^ déterminer les polynômes X,, X2, ..., X,, de degrés a^, [i.o, . . ., [J./a de manière à avoir pour la somme

Oj Xj + 02X2 + . . . -H O/; X fi

une approximation d'ordre [i.^ -1- . . . -f- a,, -\- n — i . Il en donne une solution très simple dans le cas où les S sont des exponentielles e'"'' ^ et réussit dans le cas général^ pour /i= 3, à trouver un algorithme conduisant au résultat cherché sans avoir de systèmes d'équations à résoudre. Chemin faisant, il traite, mais d'une tout autre manière, le problème suivant, résolu par Tchebycheff et analogue à un problème déjà mentionné d'Arithmétique : Trouver deux polynômes X et Y de

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