XXXII PRÉFACE

degrés m et /^, de manière à avoir pour S^ X -H S^ Y — S;} une approximation d'ordre m -h n — i. L'allure arithmétique, si je puis le dire, de ces problèmes intéressait vivement Hermite; ils se rattachaient pour lui à des questions importantes d'Analyse; le Mémoire sur e en est' la meilleure preuve. Il avait antérieurement consacré un élégant Mémoire au cas particulier de la détermination d'un système de polynômes U, V, W, tels que Usina; 4- Vcos^ -H- W commence par la plus haute puissance possible de la variable; il en avait tiré une démonstration immédiate du théorème de Lambert sur l'incommensurabilité de t:- et peut-être avait-il songé un instant à déduire de ce genre de considérations la transcendante de Tî.

La puissance de travail d'Hermite était considérable. La transcendance de e, les fractions continues algébriques ne lui font pas abandonner les fonctions elliptiques. Dès 1872, il est en possession de l'intégration de l'équation de Lamé, comme le montrent les feuilles lithographiées de son Cours de l'École Polytechnique. En 1877, il commence la publication dans les Comptes rendus de son grand Mémoire Sur quelques applications des foliotions elliptiques. Les fonctions doublement périodiques de seconde espèce, c'est-à-dire les fonctions qui se reproduisent à un facteur constant près par l'addition d'une période, jouent un rôle capital dans le travail d'Hermite; il étend à ces fonctions la décomposition en éléments simples qu'il avait donnée jadis pour les fonctions de première espèce. Il est prêt alors pour faire l'intégration d'une équation rencontrée par Lamé dans la théorie de la chaleur. Cette équation linéaire du second ordre renferme une constante arbitraire. Lamé en avait fait l'intégration pour certaines valeurs de cette constante ; Hermito l'in-

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PRÉFACI^. XXXIII

tègre dans tous les cas au moyen des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, et rattache à cette intégration la solution de quelques problèmes classiques de Mécanique, comme la recherche du mouvement d'un corps solide ayant un point fixe et n'étant soumis à aucune force, et celui du pendule conique. Le côté algébrique tient aussi une grande place dans ce Mémoire, et les équations correspondant aux cas examinés par Lamé y sont l'objet d'une discussion approfondie. Ces études sur l'équation de Lamé ont ouvert la voie à bien des recherches analytiques ; mais, ce qui intéressait le plus Hermite, ce sont les applications qu'on en pouvait faire à la Mécanique et à l'Astronomie. Le titre qu'il avait donné à son Mémoire est à cet égard significatif, ainsi que la sympathie avec laquelle il suivit les efforts de Gyldén pour introduire les fonctions elliptiques en Mécanique céleste.

J'ai déjà bien longuement parlé des travaux d'Hermite sur les fonctions elliptiques. Je ne puis m'arreter sur toutes les questions [x]u'il a étudiées dans cette théorie. Que de Mémoires seraient encore à citer, renfermant des idées ingénieuses et originales sur lesquelles il revenait avec joie : décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce, à laquelle M. Appell devait apporter des compléments très importants, développements des fonctions elliptiques suivant les puissances croissantes de la variable, recherches des valeurs asymptotiques de quelques fonctions numériques, et tant d'autres.

Hermite, comme Kronecker, s'est toujours servi des notations de Jacobi. Il se trouvait trop vieux pour adopter les notations de Weierstrass, quand elles ont commencé à se répandre. Il en reconnaissait sans doute l'avantage au point de vue de la théorie générale, et certains invariants mis en

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