FORMES CUBIQUES A DEUX INDÉTERMINÉES
et, au lieu de la forme (2),
A2[-X(?-7)2(^-aj)2-f-2|a(a-P)(a-Y)(^-?r)(^-Tr)]==/^-
Il est aisé de voir que l'on arrive ainsi à obtenir deux co variants de la forme proposée, quels que soient X, [i., v. Cela posé, soit
F = (5V, Î3, r, r )(^, yy—%{x - ay){x - by){x — cy),
en prenant
% z:..— A2A'~2B3 -T-3ABB', Î5 == — BH3'— AA'B -h-aAB'^,
iV':z= A'2A^-2B'3 3A'BB', î3'-= B'2B -h AA'B'— 2 A'B^,
de sorte que F soit le covariant cubique de f. Or, pour concevoir deux formes quadratiques, G et H, composées avec F, comme g et h le sont respectivement avec /*, ces formes seront
212 [ / ( 6 — c)2 (^ — ayY -+-m{a — cy (x — byf -1- n{a — bf {x — cyY] = G
et
212 [— li^h — cY {x — ayY -\- 'im{a — b){a^ c){x -^ cy)] = H;
or, elles jouissent de cette propriété singulière que l'on aura
oii A est l'invariant de la forme proposée /*, en prenant
m = — [X ~\- - (X -\~ [X -^ V ), n — — V -I- ( >. ( jjt, } V ) ;
en faisant
H ^ Ml,
Ces formules donnent d'ailleurs
Itn -\- In -\- nxn = X[jl 4- Xv h- jjlv^
/n2 -\- 2 Ini = (J.2 -4- 2 X[JL.
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Parmi les nombreuses conséquences arithmétiques qui résultent de là, je me bornerai à indiquer les suivantes :
Supposons ), = pi = V = I , les équations donneront l=ni=:zjiz=z\*^ or, dans ces hypothèses, les formes quadratiques g et h jouissent de cette propriété qu'en effectuant, dans la proposée/', la substitution propre à réduire g^ ou la substitution propre à réduire A, suivant que les racines a, [3, y seront toutes réelles ou non, les transformées obtenues seront des formes réduites, dans le sens propre aux formes cubiques. Or, les formes G et H étant, dans le cas où nous nous plaçons, respectivement proportionnelles à g et A, on Yoit que l'on aura à employer précisément la même substitution pour réduire une forme cubique donnée f et son covariant F.
En d'autres termes, on peut également dire qu'une forme donnée cubique et son covariant cubique sont toujours simultanément de formes réduites ou non réduites, propriété remarquable et qui ne se retrouve pas dans la théorie des formes quadratiques ternaires, où les adjointes des formes réduites ne le sont pas ellesmêmes en général.
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