SUR LES FORMES CUBIQUES

Quarterly Journal of pure and applied Mathematics, t. J, 1857.

Samedi, 3 mars.

Mon cher Monsieur,

Dans un Mémoire que j'ai adressé il y a bientôt un an à M. Crelle, j'ai annoncé des recherches sur la théorie dont vous vous êtes vousmême occupé et cette recherche doit faire suite à un Mémoire publié dans le Tome 4i, dans lequel vous pouvez voir, sur la duplication de la forme

I 62— ac, -{bc — ad), c^'—bd \{x,yy,

des calculs qui ne sont pas sans analogie avec ceux que vous me communiquez (' ). Voici le principe de ces recherches :

Soient la forme proposée /= (a, ^, c, <i)(.2^, jk)'S ? le covariant ci-dessus (/?, y, r){x^y)-^ p:=^b'^ — ac^ 'iqr=ihc — ad^ r:=.c^—bdy et F le covariant cubique

F = (A, B, G, \y){x, yY^ {ax^- -\-ibxy -^ cy^) {qx-^ry) — {bx^-\- icxy -h dy'^){px -H qy)'^

on a ce théorème algébrique :

L^ expression la plus générale des formes cubiques ayant le même covariant quadratique o est

F = tf-\-u¥,

(1) Cette Lettre répond à une Lettre de Cayley insérée aussi dans le Tome I du Quarterly Journal, E. P.

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t et u satisfaisant à U équation

^2 Aw2= I, A = q'^—pr.

Cela posé, et introduisant une division en ordres des formes cubiques, basée sur la division en ordres des formes quadratiques C5), j'établis ce lemme :

Si':^ appartient à V ordre P. P., t et u devront être entiers pour que les coefficients de F soient entiers comme ceux de la proposée.

Voici la démonstration :

Soit F = (A, B, C, D)(cr, jk)'S on aura

a — a^-hAi^, h = bt -^Bu, c = et -- Cu. à = dt -^D u^ aà — 6c H- cb — <ia = 8 Am, aD — bC -+- cD — d A ^ /, A^,

ctonc 8 Aw, 4^^ sont entiers.

Je joins ensuite à l'équation

celle-ci

ga — /?b=:A^-ha \u ;

il en résulte, pour dénominateur commun de t et u^

A2 a2Ar=/>3.

Or, on peut supposer que l'on raisonne sur /*, ou une transformée de /, telle que le coefficient p du covariant cp soit premier à A et impair, comme le fait souvent Dirichlet. Trouvant donc 4 A^ = entier, p^ t = entier, je multiplie par X et [i. pris tels que 4 A). -4-p^ i*. = I et j'ajoute, etc.; de même pour u.

Voici donc, si A est positif, une infinité de formes à coefficients entiers, qui ont un même covariant o, à savoir les formes

F=: tf^uF,

t et u satisfaisant à l'équation t- — ^u^^= i . Or, je fais dans F cette substitution

(i) ^ ^ ^^^ ' T2— AU2 = T,

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