EXTRAIT D'UNE LETTRE A SYLVESTER

SUR LES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION ax + by = n.

Quarterly Journal of pure and applied Matheniatlcs, t. I, i8 )7.

Je vous renouvelle, et avec plus d'instance, la demande que je vous faisais dans ma dernière lettre, de me parler en détail de votre découverte du nombre des solutions entières et positives de

l'équation

ax -^ by -h c^ H-. . . — n.

L'intérêt que vous me marquez avoir pris à cette question m'a engagé à m'en occuper, et sans être sorti jusqu'à présent du cas si simple de l'équation ax -^ by = /z, j'en ai vu assez pour être convaincu qu'elle est effectivement très digne d'attention. En attendant que vous me communiquiez vos formules générales, voici de mon côté ce que j'ai rencontré. Me proposant d'abord de déterminer par une méthode directe le système complet des solutions entières et positives de l'équation ax + by=z n (où a et b sont positifs et sans diviseurs communs) j'opère comme il suit. Je remarque, en

premier lieu, qu'on a

ax <^ n, by < n^

ce qui conduit à faire

K ( - U E ( j j étant les plus grands nombres entiers contenus dans

— » y y et les nouvelles indéterminées x' et y' devant être néces-

sai rement positives, comme les premières x et j^. Substituant et faisant, pour abréger,

a et ^ étant positifs et respectivement moindres que a et 6, il

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vient la transformée

ax -+- h y' =1 n -— QL — p = /i',

OÙ n est remplacé par n\ quantité plus petite, mais certainement positive, car autrement la proposée ne serait pas résoluble dans le sens que nous entendons. Continuons en faisant

"'-«Kï)-"' "■-'■Kî')=''''

on aura cette nouvelle transformée

ax"-^- by" — n' ~ a — fJ' — ri!'.

Répétant les mêmes opérations, et posant d'une manière générale

n^— aE( ^ j — as n^—b¥.(^\ — ps

ni— a^— !3^= n^^\

on aura la transformée du rang i -{- i

dont les indéterminées sont liées aux indéterminées primitives par les relations

"<^)-Kï)-'=(ï)--<-''Kï)-<-"""-

sorte de développement en suite convergente, puisque les nombres /i, 71^, n'^, . . . vont toujours en décroissant. Mais ces nombres, si la proposée est effectivement soluble, sont positifs et ne peuvent diminuer indéfiniment; ainsi, après un nombre fini d'opérations, on en trouvera nécessairement deux consécutifs, /i^ et n'+' par exemple, égaux entre eux. Or cela entraîne a^*4-[3'==:o et, par suite, CL^= o, j3'=: o, puisque toutes les quantités a et ^ sont posi-

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tlves ; il s'ensuit que

c'est-à-dire que n^ est un multiple de ab^ a et b étant premiers entre eux par hypothèse. Soit n^= iùab] la transformée de rang i (qui se reproduirait identiquement dans les opérations^ si on les continuait) aura cette forme

ax^-v- by^= o)abj

qui montre que l'on doit faire

^' = b^, yi=ar^,

où ^ et 7| sont des entiers et satisfont à la relation

Voici donc les expressions analytiques de toutes les solutions entières et positives de l'équation proposée,

en attribuant à ^ et Tj les co -\- i systèmes de valeurs qui satisfont à la condition ^ + 7|=:ol). C'est bien évident, car la totalité des solutions (entières et positives) d'une transformée du rang quelconque i s'obtient par les formules ci-dessus

où x^'^^ et y^^^ doivent être des solutions positives de la transformée suivante, et toutes celles-ci doivent être employées sans exception, aucune d'elles ne pouvant conduire à des valeurs négatives pour x^ ety^, car elles ont respectivement pour liuiites supérieures

et l'on a

Les expressions (A) me semblent d'un calcul arithmétique plus

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facile que celles que Ton tirerait de la méthode si connue d'Euler ou de Lagrange. Au fond, cette méthode revient à joindre à l'équation proposée ax -\-by ^= n^ Une autre a' x -\- b'y ^=^t\ t étant une nouvelle indéterminée, a^ et V étant déduits par les fractions continues de a et 6, de manière que ab' — ba' ^= i . De ces deux équations on tire

X = nb' — bt^ y =z at — na' ,

et il faudrait en dernier lieu déterminer les valeurs de t qui rendent

X el y positifs. Mais j'en viens à la détermination de to; je me

fonde à cet effet sur cette remarque très simple, qu'en appliquant

ma méthode à l'équation ax -^ by = N, oh^ =. n -{- kab^ k étant

un nombre entier, on trouve la série N^, N'^, ..., correspondant

parfaitement à la série des nombres n' ^ n!' ^ . . ., de sorte que l'on a

toujours

1SI'= n'-i- kab, N" = n" -h kab, etc . . .

Ainsi, lorsque l'on sera parvenu à la limite des opérations, c'està-dire lorsque /î^== toab^ N^ sera (tx) -\- k)ab; le nombre des solutions entières et positives de la nouvelle équation est donc égal au nomJ)re des solutions de la première, augmenté de /c Cela posé, désignons par m le plus grand entier contenu dans -y? et faisons /^ = ma^ -H V, co sera évidemment égal à m plus le nombre des solutions de l'équation ax -i- by :=y. Mais si cette équation est possible, comme v est inférieur à ab, l'application de ma méthode conduira pour dernière transformée à ^ -\- 1] = o^ qui n'admet qu'une seule solution, ^ = 0, 7i=:o; ainsi (jL> = m ou rj-f-i, suivant que l'équation ax -\- by =z-^ est impossible, ou possible, eu nombres entiers et positifs.

Bain-de-Bretagne, 12 juin.

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